Синус острого угла прямоугольного треугольника равен √5/3. найдите косинус, тангенс, котангенс этого угла.

Косинус^2= 1- синус^2->
Кос^2=1-(из под корня5/3)
Кос^2=1-5/9
Кос^2=4/9
Кос= под корнем 4/3

Тангенс= синус/косинус
Под корнем 5/3×3/ под корнем 4=под корнем(5/4)

Котангенс точно так же, только косинус/синус

а) Рассмотрим прямоугольный ΔСHА₁: по условию N - середина СН, значит А₁N - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу СН.
Значит А₁N=СН/2
Рассмотрим прямоугольный ΔСHВ₁: В₁N - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу СН.
Значит В₁N=СН/2.
Получается А₁N=В₁N, значит ΔА₁NВ₁ - равнобедренный
Аналогично в прямоугольном ΔАВА₁: по условию М - середина АВ, значит А₁М - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу АВ.
Значит А₁М=АВ/2.
И в прямоугольном ΔАВВ₁: В₁М - медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу АВ.
Значит В₁М=АВ/2.
Получается А₁М=В₁М, значит ΔА₁МВ₁ - равнобедренный
б) Рассмотрим ΔМА₁N и ΔМВ₁N: из доказанного выше выходит, что 2 их стороны равны (А₁N=В₁N, А₁М=В₁М) и сторона МN-общая. Значит ΔМА₁N =ΔМВ₁N по трем сторонам, а значит и углы у них равны
<A₁MN=B₁MN, <A₁NМ=B₁NМ, значит в четырехугольнике А₁МВ₁N диагональ МN является биссектрисой углов Mи N, а также MN перпендикулярна А₁В₁ (т.к. MN- биссектриса, высота и медиана равнобедренного ΔА₁МВ₁)
Sa₁мв₁n=MN*А₁В₁*sin 90/2=4*6*1/2=12

Биссектриса угла СДА проходит через середину АВ (точка Е) и пересекает продолжение основания СВ (точка К)
АЕ=ЕВ
<АДЕ=<СДЕ
ΔКВЕ=ΔДАЕ по стороне (АЕ=ЕВ) и двум прилежащим углам (<КЕВ=<ДЕА как вертикальные, <ДАЕ=<КВЕ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АВ). Значит АД=КВ и КЕ=ЕД.
В ΔКСД <СКД=<СДК, т.к. <СКД=<АДК  как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей КД, а <СДК=<АДК по условию. Значит этот треугольник равнобедренный КС=СД.
КС=КВ+ВС=АД+ВС
Значит СД=АД+ВС, что  и требовалось доказать.
б) АВ=8, ВС=2, СД=10, АД=СД-ВС=10-2=8.
Найти площадь трапеции, зная все ее  стороны, можно несколькими Например, в трапеции АВСД  опустим высоты ВН и СМ на нижнее основание АД (ВН=СМ). 
Обозначим АН=х, МД=у, НМ=ВС=2
АД=АН+НМ+НД=х+2+у
ВН²=АВ²-АН²=64-х²
СМ²=СД²-МД²=100-у²
Получается система уравнений:
х+у+2=8
64-х²=100-у²
у=6-х
(6-х)²-х²=100-64
36-12х+х²-х²=36
х=0
Значит ВН=8
Площадь трапеции АВСД:
Sавсд=ВН(АД+ВС)/2=8(8+2)/2=40