Через вершину а в равностороннем треугольнике авс проходит прямая l, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. определите расстояние между этой прямой и стороной вс, если l образует со сторонами ав и вс равные углы.

Условие исправлено в комментариях. 

Через вершину А в равностороннем треугольнике АВС проходит прямая l, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Определите расстояние между этой прямой и стороной ВС, если l образует со сторонами АВ и АС равные углы.

–––––––––––––––––

. Поскольку длина стороны ∆ АВС не указана, примем её длину равной а.

Прямая l образует со сторонами АВ и АС равные углы. Отметим на l точку М и опустим из нее на АВ и АС перпендикуляры МЕ и МР. 

∆ АЕМ=∆ МРА по гипотенузе и острому углу. Тогда ЕА=АР, отрезок ЕР параллелен ВС и ∆ ЕАР - равносторонний. 

 МА проецируется на биссектрису АН треугольника АВС. АН - биссектриса, высота, медиана. 

Все углы правильного треугольника 60°.

АН=АС•sin60°=а√3/2

Прямая ВС  лежит в плоскости ∆ АВС, а прямая l эту плоскость пересекает в точке, не принадлежащей  прямой ВС. => 

Прямые АВ и l - скрещивающиеся.

 Для нахождения расстояния между  прямыми  АМ и ВС нужно

провести  плоскость, перпендикулярную прямой ВС.  Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая  была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. 

Прямые МН и АН лежат в плоскости АМН и перпендикулярны ВС.  ( АН - перпендикулярна как высота ∆ АВС, МН -по т. о 3-х перпендикулярах-  наклонная, чья проекция лежит на АН) 

Из точки Н пересечения плоскости АМН с  прямой ВС опустим перпендикуляр НК на прямую АМ. Отрезок НК - искомое расстояние.  

∆ АКН прямоугольный, угол КАН=60° по условию. 

НК=АН•sin60°=а√3/2•√3/2=3а/4

——————

Если длина АВ другая, нужно подставить ее в найденный ответ вместо а. 

Условие не поправлено. Не пропадать же труду. ))

1. Признак: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".

Стороны АВ=СD (дано). Углы ВАС и АСD равны (дано). Это накрест лежащие углы при прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, эти прямые параллельны (признак). АВСD - параллелограмм по приведенному выше признаку. Что и требовалось доказать.

2. Треугольники ADB и DCB равны по двум углам (<1=<4 и <2=<3 - дано) и стороне между ними - DB - общая. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

AD=CB, DC=AB. ABCD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм".

Что и требовалось доказать.

Допустим возьмём треугольник ABC. Проведём высоту, биссектрису и медиану из вершины A. Поставим 3 точки: D E и F, где D это основание высоты, E основание биссектрисы и F основание медианы.

Также нарисуем описанную окружность этого треугольника. Пусть P — точка пересечения прямой AE с этой окружностью. Тогда P — середина дуги BC. Поэтому прямая, проведённая через точку P параллельно AD, перпендикулярна хорде BC (т.к. AD⊥AC) и, поэтому проходит через её середину, т.е. точку F.

Доказав, что E лежит между D и F мы докажем что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса проходит между высотой и медианой проведенными из той же вершины.​

Прямая AD параллельна FP. Биссектриса-это AE, но мы её продлим до AP. Точка E находится на отрезке AP И любая точка находящаяся на AP (кроме самих точек A и P) будет между параллельных  линий AD и FP. Значит точка E находится между параллелей AD и FP. Также точка E находится на отрезке DF, ведь точки D и F на параллелях AD и FP.