Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника.найдите его углы.

Дан ΔABC, AB=BC, AF - биссектриса ∠BAC, AF=AC.

Найти: ∠ABC, ∠BCA, ∠BAC - ?

Пусть ∠BAC = 2x.

В равнобедренном треугольника углы при основании равны.

Тогда ∠BCA = ∠BAC = 2x.

Биссектриса делит угол на два равных.

Поэтому ∠BAF = ∠CAF = ∠BAC:2 = x.

ΔAFC - равнобедренный т.к. AF=AC.

∠AFC = ∠ACF = 2x, как углы при основании.

Сумма углов треугольника равна 180°.

В ΔAFC:

∠AFC+∠ACF+∠CAF = 180°;

2x+2x+x = 180°;

5x = 180°;

2x = 180°:5·2 = 72°.

∠BCA = ∠BAC = 2x = 72°;

В ΔABC:

∠ABC+∠BCA+∠BAC = 180°;

∠ABC = 180°-72°-72°;

∠ABC = 36°.

ответ: 36°, 72° и 72°.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.
           АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:

Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.
Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁  и АС с А₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.
Так как АС = А₁С₁, точки С  и С₁ тоже совпадут.
Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.
Так как треугольники совпали при наложении - они равны.

При доказательстве признака использована аксиома: через любые две точки можно провести единственную прямую

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.
           АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:

Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.
Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁  и АС с А₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.
Так как АС = А₁С₁, точки С  и С₁ тоже совпадут.
Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.
Так как треугольники совпали при наложении - они равны.

При доказательстве признака использована аксиома: через любые две точки можно провести единственную прямую