Даны две стороны треугольника 12 см и 8 см и угол между ними 60 градусов.найдите третью сторону и остальные 2 угла.

Пусть в треугольнике ABC AB=12 см, BC=8 см и ∠ABC = 60. Найдем сторону AC из теоремы косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos∠ABC;
AC^2 = 144+64 - 2*12*8*0,5;
AC^2 = 112;
AC = 4√7.

Из теоремы синусов получим:
AB/sin∠ACB = AC/sin∠ABC=BC/sin∠BAC;
Отсюда:
sin∠ACB = AB*sin∠ABC/AC = 12/(2*4√7) = 3√7/14. ∠ACB = arcsin(3√7/14).
sin∠BAC = BC*sin∠ABC/AC = 8/(2*4√7) = √7/7.  ∠BAC = arcsin(√7/7).
ответ: 4√7; arcsin(3√7/14); arcsin(√7/7).

P. S. За правильность расчетов не ручаюсь. Лучше перепроверить.

1. Построим полное сечение призмы плоскостью BDE1. Т.к. плоскость BDE1 пересекает параллельные плоскости ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 по двум параллельным прямым, то ищем в плоскости A1B1C1D1E1F1 прямую параллельную BD и проходящую через точку E1.

Т.к. четырехугольник A1B1D1E1 - прямоугольник, то A1E1 || B1D1.

Т.к. четырехугольник BDD1B1 - прямоугольник, то BD || B1D1, откуда получаем, что A1E1 || B1D1.

Т.е. полным сечением призмы плоскостью BDE1 будет прямоугольник A1BDE1 (см. рис. 1)

Найдем проекцию прямой CC1 на плоскость  A1BDE1. Для этого в плоскости A1B1C1D1E1F1 опустим перпендикуляр C1O1 на отрезок A1E1, а в плоскости ABCDEF опустим перпендикуляр CO на отрезок BD.

Продолжим прямые CC1 и OO1 до пересечения в точке G.

Угол C1GO1 (см. рис. 2) и будет искомым углом между прямой CC1 и плоскостью BDE1. Найдем его.

CO найдем из равнобедренного треугольника BCD, в котором он является высотой проведенной к основанию. Боковые стороны CB = CD = 1. Угол при вершине BCD = 120° (ABCDEF - правильный шестиугольник), а значит ∠DBC = ∠BDC = 30°, откуда CO = CB / 2 = 1/2.

C1O1 = C1H + HO1 = CO + D1E1 = 1/2 + 1 = 3/2

В треугольнике O1OH сторона OH = CC1 = 1, а HO1 = D1E1 = 1, значит он равнобедренный и прямоугольный, откуда ∠HOO1 = 45°

Т.к. ΔHOO1 подобен ΔO1GC1, то ∠O1GC1 = ∠HOO1 = 45°,

т.е. угол между заданной прямой и плоскостью равен 45°

2. Для того, чтобы найти угол между плоскостью CB1D1 и прямой AB, найдем угол между этой плоскостью и прямой C1D1 параллельной прямой AB. (см. рис. 3)

Треугольник CD1B1 - равносторонний, т.к. все его стороны являются диагоналями равных квадратов со стороной 1.

Точка C1 равноудалена от точек C, B1 и D1, а значит в правильной треугольной пирамиде C1CB1D1 (см. рис. 4) проекция точки C1 на основание CB1D1 попадет в центр описанной окружности ΔCB1D1.

В правильном треугольнике CB1D1 все стороны равны (как диагонали квадратов со стороной 1). Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника равен , откуда

Из прямоугольника тругольника C1OD1 найдем синус угла C1D1O, который и будет искомым:

1. Построим полное сечение призмы плоскостью BDE1. Т.к. плоскость BDE1 пересекает параллельные плоскости ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 по двум параллельным прямым, то ищем в плоскости A1B1C1D1E1F1 прямую параллельную BD и проходящую через точку E1.

Т.к. четырехугольник A1B1D1E1 - прямоугольник, то A1E1 || B1D1.

Т.к. четырехугольник BDD1B1 - прямоугольник, то BD || B1D1, откуда получаем, что A1E1 || B1D1.

Т.е. полным сечением призмы плоскостью BDE1 будет прямоугольник A1BDE1 (см. рис. 1)

Найдем проекцию прямой CC1 на плоскость  A1BDE1. Для этого в плоскости A1B1C1D1E1F1 опустим перпендикуляр C1O1 на отрезок A1E1, а в плоскости ABCDEF опустим перпендикуляр CO на отрезок BD.

Продолжим прямые CC1 и OO1 до пересечения в точке G.

Угол C1GO1 (см. рис. 2) и будет искомым углом между прямой CC1 и плоскостью BDE1. Найдем его.

CO найдем из равнобедренного треугольника BCD, в котором он является высотой проведенной к основанию. Боковые стороны CB = CD = 1. Угол при вершине BCD = 120° (ABCDEF - правильный шестиугольник), а значит ∠DBC = ∠BDC = 30°, откуда CO = CB / 2 = 1/2.

C1O1 = C1H + HO1 = CO + D1E1 = 1/2 + 1 = 3/2

В треугольнике O1OH сторона OH = CC1 = 1, а HO1 = D1E1 = 1, значит он равнобедренный и прямоугольный, откуда ∠HOO1 = 45°

Т.к. ΔHOO1 подобен ΔO1GC1, то ∠O1GC1 = ∠HOO1 = 45°,

т.е. угол между заданной прямой и плоскостью равен 45°

2. Для того, чтобы найти угол между плоскостью CB1D1 и прямой AB, найдем угол между этой плоскостью и прямой C1D1 параллельной прямой AB. (см. рис. 3)

Треугольник CD1B1 - равносторонний, т.к. все его стороны являются диагоналями равных квадратов со стороной 1.

Точка C1 равноудалена от точек C, B1 и D1, а значит в правильной треугольной пирамиде C1CB1D1 (см. рис. 4) проекция точки C1 на основание CB1D1 попадет в центр описанной окружности ΔCB1D1.

В правильном треугольнике CB1D1 все стороны равны (как диагонали квадратов со стороной 1). Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника равен , откуда

Из прямоугольника тругольника C1OD1 найдем синус угла C1D1O, который и будет искомым: