Дано: abcd – трапеция, ab = 7 см. bc = 9 см, ad = 12 см, (bd-диагональ)bd = 11 см. найти: sabcd.

Рассмотрим ΔАВД, где АВ=7 см, АД=12 см, ВД=11 см.

Найдем площадь ΔАВД по формуле Герона:

S(АВД)=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(15*3*4*8)=√1440≈38 см²

Найдем высоту ВН из формулы площади треугольника:

S=1\2 * АД * ВН

38=6*ВН

ВН≈6,3 см

Найдем площадь трапеции

S=(АД+ВС)\2*ВН=(9+12)\2*6,3≈66,15 см²

У прямоугольной трапеции два  угла являются прямыми, т.е. по  90 градусов. Сумма всех углов трапеции = 360 градусов.  Значит сумма двух остальных (не прямых углов) равна 360-(90+90) = 180 градусов. Нам известно, что один из этих двух углов в 4 раза больше другого. Сводим к задаче на части. Меньший угол составляет одну часть, а больший 4 части. Значит всего частей 5. Отсюда следует:  180:5=36 градусов - одна часть.
Значит меньший угол равен 36 градусов, больший = 36*4=144 градуса.
ответ: 36 градусов - меньший угол.
           144 градуса - больший угол.
  

Пусть плоскость α проходит через прямую a, при этом прямая a параллельна прямой b. 

Докажем, что прямая b параллельна плоскости α, то есть, у прямой b и плосости α нет общих точек. Через две параллельные прямые проходит ровно одна плоскость. Обозачим за β плоскость, проходящую через а и b. Плоскости α и β пересекаются по прямой a, значит, все общие точки плоскостей α и β лежат на прямой а. Предположим, что у прямой b и плоскости α есть общая точка N, тогда точка N не лежит на прямой a (прямые a и b параллельны), но при этом точка N принадлежит и плоскости α, и плоскости β (так как все точки, лежащие на прямой b, принадлежат β). Получили противоречие с тем, что все общие точки плоскостей α и β лежат на прямой a. Значит, у прямой b и плоскости α нет общих точек, то есть, α || b.