1) в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой, делит эту сторону на отрезки длинной 12 см и 3 см, считая от вершины треугольника, противолежащей основанию. найдите площадь и периметр треугольника.

Дано:

ΔАВС

АВ = ВС

АН - высота

ВН = 12 см

СН = 3 см

Найти: Р(АВС); S(ABC)

Треугольник АВС равнобедренный ⇒ АВ = ВС = 12 + 3 = 15 см

Из ΔАВН по теореме Пифагора:

см

Из ΔАСН по теореме Пифагора:

cм

Периметр треугольника равен сумме трёх сторон:

cм

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

cм ²

а) 

Через две точки можно провести прямую, притом только одну. 

Две точки А и М принадлежат одновременно двум плоскостям: плоскости грани и секущей плоскости. ⇒ АМ - линия их пересечения. 

Аналогично точки А и С принадлежат грани параллелепипеда и секущей плоскости. ⇒ АС - линия их пересечения. 

Плоскости А1D1DA  и  D1C1CD пересекаются по ребру DD1

Продлим АМ и DD1 до их пересечения в точке Е. 

Точки Е и С лежат одновременно в двух плоскостях, ⇒ ЕС - линия их пересечения, которая пересекает ребро D1C1 в точке К.   

МК - линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием параллелепипеда. КС - линия пересечения секущей плоскости с боковой гранью D1C1CD. Трапеция МАКС - искомое сечение б) 

Противоположные  грани  параллелепипеда – равные параллелограммы и  лежат в параллельных плоскостях..

Точки А и М лежат одновременно в двух плоскостях: АДД1А1 и в секущей плоскости.  Значит МА - линия пересечения этих двух плоскостей. 

Точки А и С лежат одновременно в двух плоскостях  - АВСD и плоскости сечения. Значит, АС - линия их пересечения. 

По свойству параллельных  плоскостей:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. 

 Отсюда линия пересечения MM1 искомой плоскости на верхнем основании параллелепипеда параллельна АС и проходит через середины ребер А1D1  и  C1D1. Соединив К и С, получим искомое сечение - трапецию АМКС

а) 

Через две точки можно провести прямую, притом только одну. 

Две точки А и М принадлежат одновременно двум плоскостям: плоскости грани и секущей плоскости. ⇒ АМ - линия их пересечения. 

Аналогично точки А и С принадлежат грани параллелепипеда и секущей плоскости. ⇒ АС - линия их пересечения. 

Плоскости А1D1DA  и  D1C1CD пересекаются по ребру DD1

Продлим АМ и DD1 до их пересечения в точке Е. 

Точки Е и С лежат одновременно в двух плоскостях, ⇒ ЕС - линия их пересечения, которая пересекает ребро D1C1 в точке К.   

МК - линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием параллелепипеда. КС - линия пересечения секущей плоскости с боковой гранью D1C1CD. Трапеция МАКС - искомое сечение б) 

Противоположные  грани  параллелепипеда – равные параллелограммы и  лежат в параллельных плоскостях..

Точки А и М лежат одновременно в двух плоскостях: АДД1А1 и в секущей плоскости.  Значит МА - линия пересечения этих двух плоскостей. 

Точки А и С лежат одновременно в двух плоскостях  - АВСD и плоскости сечения. Значит, АС - линия их пересечения. 

По свойству параллельных  плоскостей:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. 

 Отсюда линия пересечения MM1 искомой плоскости на верхнем основании параллелепипеда параллельна АС и проходит через середины ребер А1D1  и  C1D1. Соединив К и С, получим искомое сечение - трапецию АМКС