Дан прямоугольник хуzc, мх - перпендикуляр к плоскости прямоугольника, угол хzm=60, cz=3 cm, yz=4cm. чему равна площадь треугольника муz? решение обязательно с рисунком и объяснением.

В прямоугольнике XYZC: XY=ZC, XC=YZ. MX⊥XY, MX⊥XC, MX⊥XZ. XCZ - пифагоров треугольник и XZ = 5.  Тогда в прямоугольном треугольнике XMZ:  MZ = 10 (катет против угла 30° равен 5) . МХ = 5√3 (по Пифагору).    В прямоугольном треугольнике XMY:  MY = √84 (по Пифагору).   MY можно найти и из прямоугольного треугольника MYZ c гипотенузой MZ=10 и катетом YZ=4.  Тогда по Пифагору MY=√(100-16)=√84. (то же самое значение). В прямоугольном треугольнике MYZ:

Smyz=(1/2)*4*√84 =2√84 = 4√21.

Основание пирамиды ромб ABCD, НО - высота пирамиды, НМ - высота на грани пирамиды. Vпирамиды=⅓h*a² Необходимо найти сторону ромба. Площадь ромба через радиус вписанной окружности можно найти по двум формулам. S= 4r²/sinα=2аr. Найдём площадь по первой формуле, где альфа это острый угол ромба, синус 30 градусов равен ½. S=4×1:½=8 По второй формуле вычислим сторону ромба. 8=2а×1 а=4 Рассмотрим треугольник МОН, образованный высотой пирамиды, высотой грани и радиусом вписанной окружности. Он прямоугольный и угол НМО =45 градусов по условию, следовательно и второй угол равен 45 градусов по свойству о сумме углов треугольника. Треугольник равнобедренный и его катеты равны, т.е. МО=ОН=1см. V=⅓×1×16=16/3

Рассмотрим треугольники AKO и CMO. Они равны как прямоугольные треугольники по катету (KO=MO) и прилежащему острому углу (KOA=MAC как противоположные углы пересекающихся прямых). Следовательно высоты поделены точкой пересечения на равные отрезки, это свойство равнобедренного треугольника. Если этого мало, то треугольник AMC равен треугольнику CKA по двум катетам (MO=KO, MC=KA из предыдущего доказательства). Следовательно в них равны и углы КАС и МСА, которые являются углами при основании, а это значит что треугольник равнобедренный