Восновании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 градусов. боковая сторона и меньшее основание трапеции равны соответственно 8 и 6. через боковую сторону трапеции нижнего основания и вершину большего основания трапеции верхнего основания проведено сечение плоскостью, образующего с плоскостью нижнего основания угол в 30 градусов. найдите площадь сечения.

Для начала построим сечение призмы плоскостью АВ1D. Точки А и В1 принадлежат плоскости, содержащей грань АА1В1В, следовательно, линия пересечения этой грани плоскостью сечения пройдет по прямой АВ1. Зная, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным линиям, проведем в грани DD1C1C из точки D прямую, параллельную прямой АВ1 до пересечения с ребром СС1 этой грани в точке Р. Соединив точки А,В1,Р, и D, получим искомое сечение АВ1РD.

Определение: Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).

Проведем перпендикуляр ВН в основании призмы (точка Н - пересечение его с ребром AD) и соединим точки В1 и Н прямой. По теореме о трех перпендикулярах В1Н перпендикулярна прямой AD. Следовательно, <B1HB является линейным углом двугранного угла между плоскостями сечения и основания призмы и равен 30° (дано). Проведем прямую РМ, параллельную прямой АВ.

Сечение призмы представляет собой четырехугольник, состоящий из параллелограмма АМРD и треугольника РМВ1.

Найдем высоту нашей трапеции, ее большее основание и длину перпендикуляра ВН.

В равнобедренной трапеции с углом при большем основании, равном 60°, полуразность оснований равна AD*Sin60 = 8*(1/2) =4. Тогда большее основание равно CD+2*4 = 6+8=14. Из прямоугольного треугольника АНВ получим ВН=АВ*Cos30 =7√3 и из треугольника НВВ1 => В1Н=(7√3)/(√3/2)=14.

Найдем отрезки HQ (высота параллелограмма ADCC1), HJ и JB1.

Sadcc1 = AD*DC*Sin60 = 24√3. => HQ=S/AD = 3√3.

HJ=HQ/Cos30 = (3√3)/(√3/2) = 6.

JB1=HB1-HJ = 14-6=8.

Sab1pd = Sampd+Spmb1 = 8*6+(1/2)8*8 = 80 ед.

ответ: S = 80 ед.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Сформулируйте и докажите признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основанииТеорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.  Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.   В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой     Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.  Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.