Вшар радиуса r вписана призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с острым углом альфа, диагональ боковой грани, содержащей катет прилежащей к этому углу образует с основанием угол бета. найдите объём призмы.

Так как призма вписана в шар, то она прямая, то есть, все ее боковые грани - прямоугольники.

Пусть катет, прилежащий к углу α треугольника равен a. Рассмотрим боковую грань, содержащую этот катет. Как указано выше, эта грань - прямоугольник. Его диагональ образует с одной из сторон угол β. Соответственно, другая сторона этого прямоугольника (высота призмы) равна a*tgβ. Второй катет прямоугольного треугольника в основании равен a*tgα.

Объем прямой призмы равен произведению площади треугольника в основании и ее высоты, значит, искомый объем V=1/2*a*a*tgα*a*tgβ=1/2a^3*tgα*tgβ

sin острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе: sinA=BC/AB=8/17, sinB=АС/АВ=15/17.

cos острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе: cosА=АС/АВ=15/17, cosВ=BC/AB=8/17.

tg острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к этому углу: tgА=ВС/АС=8/15, tgВ=АС/ВС=15/8.

ctg острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение катета, прилежащего к этому углу, к противолежащему катет:  ctgА=АС/ВС=15/8,  ctgВ=ВС/АС=8/15

Для решения этой задачи необходимо просто помнить формулы синуса, косиснуса, тангенса и котангенса.
синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, сосинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, ну а котангенс функция обратная тангенсу. тут есть два хода решения, так как у данного треугольника и угол В и угол А будут острыми, я делаю расчет на угол А.
Синус А равен 21/29, Сосинус А равен 20/29, Тангенс А равен 21/20, ну и Котангентс равен 20/21