Вычислить косинумы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки a(2; 1; 8), b(-1; 3; 4) и с(3; 0; 12)

Даны точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12).

Находим уравнение плоскости через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2 y - 1 z - 8

(-1) - 2 3 - 1 4 - 8

3 - 2 0 - 1 12 - 8

 = 0

x - 2   y - 1         z - 8

-3            2           -4

1       -1           4

 = 0

x - 2  2·4-(-4)·(-1)  -  y - 1  (-3)·4-(-4)·1  +  z - 8  (-3)·(-1)-2·1  = 0

4 x - 2  + 8 y - 1  + 1 z - 8  = 0

4x + 8y + z - 24 = 0.

Переведём это уравнение в уравнение в "отрезках".

(x/(24/4)) + (y/(24/8) + (z/24) = 1.

(x/6) + (y/3) + (z/24) = 1.

Получили вершины тетраэдра:

А(6; 0; 0), В(0; 0; 0), С(0; 3; 0) и Д(0; 0; 24).

Находим длины перпендикуляров из начала координат (точка В) к отрезкам АС, АД и СД.

АС = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5.

ВК = (3*6)/(3√5) = 6/√5.

АД = √6² + 24²) = √(36 + 576) = √612 = 6√17.

ВМ = (6*24)/(6√17) = 24/√17.

СД = √(3² + 24²) = √(9 + 576) = √585 = 3√65.

ВЕ = (3*24)/(3√65) = 24/√65.

Находим наклонные отрезки ДК, СМ и АЕ.

ДК = √(24² + ВК²) = √(576 + (36/5)) = √(2916/5).

СМ = √(3² + ВМ²) = √(9 + (576/17)) = √(729/17).

АЕ = √(6² + ВЕ²) = √(36 + (576/65)) = √(2916/65).

Теперь можно определить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра,образованного плоскостями координат и плоскостью,проходящей через точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12) .

Косинус угла ДКВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОУ) равен: cos(ДКВ) = ВК/КД = (6/√5)/(√(2916/5)) = 6/√2916 = 1/9.

Косинус угла СМВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОZ) равен: cos(СМВ) = ВМ/СМ = (24/√17)/(√(729/17)) = 6/√2916 = 8/9.

Косинус угла ВЕА (наклона плоскости АВС к координатной плоскости УОZ) равен: cos(ВЕА) = ВЕ/АЕ = (24/√65)/(√(2916/5)) = 24/√2916 = 4/9.

разделим решение на 2 части: анализ и нахождение величин  

1) анализ  

обозначим боковые стороны и меньшее основание за x  

длина той части высоты, которая ближе к меньшему основанию - м (далее - во)  

длина той части высоты, которая ближе к большему основанию - б (далее - он)  

пусть трапеция - abcd. bc - меньшее основание, аb и cd - боковые стороны.  

проведём высоту bh, диагональ - ас. точка пересечения - о  

треугольники овс и она - подобные (оба прямоугольные, есть вертикальные углы аон=вос)  

тогда ан = вс* (он/во) = х* (б/м)  

площадь трапеции: s = bh*(bc+ad)/2 = bh*(bc+ah) = 18*x*(1+б/м)  

итак, осталось найти х.  

поясню, почему требуется обозначения б и м. есть 2 решения (в зависимости от того, какие длины мы присвоим отрезкам он и во) . поэтому будут 2 значения б/м:  

б/м = 10/8 или б/м = 8/10  

 

2) нахождение величин  

обозначим угол всн = t (дальше легче писать)  

cos (t) = ah/ab = (x*(б/м)) /x = б/м.  

sin (t) = вн/ав = 18/х  

cos^2(t) + sin^2(t) = 1  

(б/м) ^2 + 324/x^2 = 1  

324/x^2 = 1 - (б/м) ^2  

так как 324/x^2 > 0, то приходим, что б/м = 8/10. (т. е. второго решения больше нет) .  

итого: 324/x^2 = 1 - (8/10)^2 = 0,36  

x = 30  

s = 18*x*(1+б/м) = 18*30*(1+ 8/10) = 972

трапеция авсд, высота вн пересекает диагональ ас в точке о, при этом во =10, он=8.;   ав =вс=х по условию, значит треугольники аон и сов подобны по двум углам (так как угол вас =углу вса и углы при вершине о равны как вертикальные) из подобия треугольников следует пропорция вс/ан=во/он, т.е х/ан=10/8,значит ан= 4х/5 и всё нижнее основание ад= 4х/5+х+4х/5, т.е ад=13х/5. но из прямоугольного треугольника авн по теореме пифагора авв квадрате = ан в квадрате + вн в квадрате, т.е х в квадрате = (4х/5)в квадрате + 18 в квадрате. отсюда х=30. тогда верхнее основание вс=30,нижнее ад= 13х/5=78 и площадь трапеции равна полусумме оснований умножить на высоту, т.е (78+30)/2 и умножить на 18, получится 972.

ответ: 972