Знайдіть координати вершини точки а рівностороннього трикутника авс якщо відомі координати вершин в(-2; 0) і с (4; 0)

Длина стороны ВС = 4 - (-2) = 6

Обе точки В и С расположены на оси Ох, потому что ординаты точек равны нулю.

Координата х точки А равна сдежнему значению координат х точек В и С, то есть хА = (хВ + хС)/2 = (-2 + 4)/2 = 1

Сторона АВ = ВС = 6, так как треугольник равносторонний

тогда АВ² = (хА - хВ)² + (уА - уВ)²

или 6² = (1 + 2)² + (уА - 0)²

36 = 9 + уА²

уА² = 25

уА = 5 или (-5)

ответ: А(1; 5) или А(1; -5)

1) Пусть a и b - два данных вектора. Если вектор р представлен в виде p=xa+yb, где х и у -некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам a и b. Числа х и у называются коэффициентами разложения.

2) Отложим от точки О два единичных вектора, направление которых совпадает с направлениями координатных осей. Эти векторы обозначаются i и j и называются координатными векторами. Так как координатные вектора не коллинеарны, то любой вектор р можно представить в виде p=xi+yj. Числа х и у называются координатами вектора в данной системе координат.
Для координат векторов справедливы следующие свойства:
1. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат.
2. Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат.
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
4. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

1)  А(-5;4)    В(3;-2)  Найдём координаты вектора АВ( 3-(-5);-2-4)
АВ(8;-6)
IABI=√(8²+(-6)²=√100=10
2) А(-2;7)    В(2;1)    С(-7;-5)
Найдём  координаты и длину  вектора  АВ :
АВ(4;-6)   
IABI=√(4²+(-6)²=√52=2√13
Найдём координаты и длину вектора ВС:
ВС(-9;-6)
IBCI=√(-9)²+(-6)²=√117
cosB=(AB·BC)/IABI·IBCI
cosB=(4·(-9)+(-6)·(-6))/√52·√117=(-36+36)/√52·117=0
угол В=90 град
3)    а(-2;3)   b(4;-2)    а·b=-2·4+3·(-2)=-8-6=-14
4)  IaI=12    IbI=7    α=60
a·b=IaI·IbI·cos60=12·7·cos60=12·7·1|2=42
5)  M(6;8)    К(-2;7)
МК(-2-6;7-8)    МК(-8;-1)

IMKI=√((-8)²+(-1)²=√65
6) если векторы перпендикулярны , то их скалярное произведение равно 0
а·b=-5·4+р·(-10)
-20-10р=0
-10р=20
р=-2
а(-5;-2)
7)b(4;  -7)   а(-14;-8)
IbI=√4²+(-7)²=√16+49=√65
IaI=√((-14)²+(-8)²)=√260
cos(ab)=(a·b)/IaI·IbI
cos(ab)=(-14·4)+(-7)·(-8))/√65·√260=0
cos(ab)=0  , значит угол вежду векторами а и b 90 градусов ( прямой угол ), т. е векторы перпендикулярны
8)  а(-2р+3с)-(-4р+2с)    р(-1;2)    с(2;-3)
а(-2р+4р+3с-2с)=(2р+с)
а(-2(-1;2)+(2;-3)    а(4;-7)
IaI=√(4²+(-7)²=√(16+49)=√65