Дана окружность, диаметр mn которой равен 16. на касательной к этой окружности в точке m отложен отрезок mp, длина которого больше, чем 15. из точки p проведена вторая касательная к окружности, пересекающая прямую mn в точке q. найдите площадь треугольника mpq, если его периметр равен 72.

Пусть MP=x, NQ=y треугольник MPQ прямоугольный так как MP диаметр.  

По теореме о секущей LQ^2=y*(y+16) из условия

P=MP+PQ+MQ=2MP+LQ+NQ+MN=2x+y+√(y(y+16))+16=72 или  

sqrt(y(y+16))+y+2x=56  

По теореме Пифагора x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2  

Система  

{√(y(y+16))+y+2x=56  

{x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2      

(√(y(y+16))+x)^2=(56-y-x)^2

приравнивая со вторым  

(56-(y+x))^2=x^2+256+32y+y^2

56^2-112(x+y)+2xy=256+32y  

x = (72(y-20)/(y-56))  

Подставляя в первое уравнение системы

√(y(y+16))+y+(144(y-20)/(y-56)) = 56  

или

(y(y+16))  - (56 - (y+(144(y-20)/(y-56^2 = 0

32(y+16)(y-2)(5y-64)=.

y=2, y=64/5

при y=64/5 , x<15

при y=2, x=24>15

Значит     S(MPQ) =  x(16+y)/2 = 24*18/2 = 216

1.Если две прямые на плоскости пересекаются, то они имеют одну и только одну общую точку. (частный случай: если же две прямые на плоскости совпадают, т.е. одна поверх другой, то они имеют бесконечное количество общих точек). 
2.отрезок-прямая,которая имеет начало и конец
3.Лучом (или полупрямой) называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки, которая называется начальной точкой, началом или вершиной данного луча. 
Также часто говорят, что "луч исходит из данной точки", имея в виду, что эта точка является вершиной луча. 
луч, проходящий между сторонами угла 
Говорят, что луч проходит между сторонами угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. В случае развёрнутого угла считается, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла. 
* Если луч проходит между сторонами неразвёрнутого угла, то он пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла. 
лучи сонаправленные 
Два луча (или, что то же самое, две полупрямые) называются одинаково направленными или сонаправленными, если существует параллельный перенос, который переводит один луч в другой. 
Это эквивалентно тому, что либо два луча лежат на одной прямой, и один из лучей содержится в другом, либо два луча не лежат на одной прямой, но лежат в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начальные точки. 
* Отношение сонаправленности лучей транзитивно: Если лучи a и b сонаправленны и лучи b и c сонаправлены, то лучи a и c также сонаправлены. 
лучи противоположно направленные 
Два луча (или, что то же самое, две полупрямые) называются противоположно направленными, если прямые, на которых они лежат, параллельны или совпадают, и при этом лучи не являются сонаправленными. 
Это верно тогда и только тогда, когда один из данных лучей сонаправлен с лучем, дополнительным к другому лучу.

Вначале следует вспомнить, какие углы являются смежными. Смотрите рисунок. Как видите смежные углы это такие углы, которые образованы лучом k, выходящем из точки на прямой h - l. Поскольку надо найти углы, то обозначим любой из них через Х. Например примем, что <kl =Х. Тогда по условию <hk=<kl + 47градусов 18 минут. = Х +47градусов 18 минут. Так как прямая hl представляет собой развернутый угол, величина которого = 180 градусов, то отсюда следует, что сумма смежных углов так же равна 180 градусов. Таким образом можно записать уравнение <hk + <kl = Х +47градусов 18 минут + Х = 180 градусов. Или 2Х = 180 градусов  - 47градусов 18 минут = 132градуса 42 минуты. Отсюда Х = (132градуса 42 минуты)/2 = 66гр.21мин. Т.е. <kl =  66гр.21мин.
<hk =66гр.21мин.+ 47гр.18 мин. = 113 гр. 39 мин.
Проверим. <hk + <kl = 113 гр.39 мин. +  66гр.21мин = 180 градусов. Углы найдены верно.