Вычислите координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки m(-1; 2) на прямую 3x-5y-21=0.

Запишем уравнение в виде формулы линейной функции у=(3х-21)/5 = 0,6х-4,2. Угловой коэффициент этой прямой к₁= 3/5. Найдем коэффициент к₂перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности к₁*к₂=-1. к₂=-5/3.

Уравнение второй прямой имеет вид у= -5/*3 х +b.   x=-1, y=2.

b=2+ 5/3 * (-1) = 1/3.    y= -5/3*x +1/3.

Теперь решаем систему из этих уравнений: у=3/5 х -4,2  и у= -5/3 х +1/3.

х=2, у=-3.

Дано: ABCD  ромб ; BD =30 ; AC =40 ; AK ⊥ (ABCD) ; AK= 10 .

d( K , CD) = d( K , BC) - ?

Проведем  из вершины A  высоту ромба :  AH  ⊥ CD  (AH = h) и соединим  точка H с точкой K . KH -наклонная  , AH ее проекция на  плоскости  ABCD.
По теореме трех перпендикуляров CD  ⊥  KH ,т.е.  KH есть расстояние от точки   K до  стороны CD .
Из ΔKAH : KH = √(KA² +AH²).

Сторона  ромба равно  a =√ ( (BD/2)² +(AC/2)² ) = (1/2)*√ ( BD² +AC)² = 
 (1/2)*√ ( 30² +40)²  =(1/2)*50=25. 
S(ABCD) =BD*AC/2 = 30*40/2 = 600. C другой стороны  S(ABCD) =a*AH ⇒
600 =25*AH  ⇒AH =24.
Окончательно :
KH = √(KA² +AH²) = √(10²+24)² =√(100+576) =√676=26.

ответ :   26.

Линия пересечения сферы плоскостью равна длине окружности, образовавшейся на шаре в результате пересечения. На рисунке АО = МО = ВО = D/2 = 10/2 = 5 см - радиусы шара. Из равнобедренного треугольника ВОМ: углы при основании равны: угол ОВМ = углу ОМВ = 45 градусов. Следовательно, угол ВОМ = 90 градусов. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ВОМ: ОМ^2 = BM^2 + OM^2, OM^2 = 25 + 25 = 50, OM = корень из 50 = пять корней из двух. Итак, длина окружности равна: 2pi*R = D*pi = пять корней из. Искомая линия пересечения пять корней из двух умножить на pi сантиметров.