Втрапеции a b c d основания a d и b c относятся как 4 : 1 , а сумма углов при основании a d равна 90 0 . найдите радиус окружности, проходящей через точки a и b и касающейся прямой c d , если a b = 9

Строим ромб АВСД, где есть диагонали АС и ВД. Допустим, они пересекаются в точке О. Рассмотрим треугольник АОД. Он прямоугольный, так как угол АОД=90 градусов (Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, это по свойству ромба). Также диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, это тоже свойство ромба. Получаем, что АО=1/2АС=12. Тогда ДО=1/2ВД=9.
Применяем теорему Пифагора, где квадрат гипотенузы равен сумм квадратов катетов, т.е. получаем, что АД^2=AO^2+ДО^2. Катеты известны, ищем гипотенузу, которая и будет являться стороной ромба.
АД^2=12^2+9^2
АД=корень из 12^2+9^2= корень из 144+81=корень из 225 = 15см.
Сторона ромба равняется 15 см.

Соединив точки А и Р, получим прямоугольную трапецию АРСД. 

Диаметр вписанной в трапецию окружности равен ее высоте, здесь - стороне АВ=СД, т.е. 4.  Радиус r=2 см

Проведем из центра О радиусы в точки касания окружности с ВС и СД. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. 

КС=СЕ=r=2 см.

ВК=ВС-КС=5-2=3 см

Обозначим  М середину АВ, Е - середину СД. 

МО=ВК=3 см

АМ=СЕ=ДЕ=4:2=2 см

По т.Пифагора или как гипотенуза равнобедренного ∆ ОЕД –

ОД=2√2.

Р (АМОД)=АД+АМ+МО+ОД=5+2+3+2√2=(10+2√2) см или ≈ 12, 828 см