Квадрат и прямоугольник площади которых соответственно равны 36см² и 96см², имеют общую сторону, а расстояние между их параллельными сторонами 14 см. найдите угол между плоскостями. с рисунком, !

ABCD - прямоугольник, Sabcd = 96 см²,

ABKM - квадрат, Sabkm = 36 см².

Sabkm = AB² = 36

AB = 6 см

Sabcd = AB · AD, ⇒  

AD = Sabcd / AB = 96 / 6 = 16 см

Плоскости квадрата и прямоугольника пересекаются по прямой АВ, АВ - ребро двугранного угла.

МА⊥АВ как стороны квадрата,

DA⊥АВ как стороны прямоугольника, ⇒

∠MAD - линейный угол двугранного угла - искомый.

Соединим вершины М и D.

Так как прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости MAD, то она перпендикулярна и самой плоскости, а значит и каждой прямой, лежащей в этой плоскости, т.е.

АВ⊥MD.

КМ║АВ и CD║AB, ⇒  KM⊥MD, CD⊥MD, т.е.

MD и есть расстояние между параллельными сторонами квадрата и прямоугольника.

MD = 14 см.

Из треугольника AMD по теореме косинусов:

MD² = AM² + AD² - 2·AM·AD·cosMAD

196 = 36 + 256 - 2 · 6 · 16 · cosMAD

cosMAD = (292 - 196) / 192 = 96/192 = 0,5

∠MAD = 60°

1. Объем шара V=4/3π*r³. Объем конуса V=1/3SH.
Так как угол при образующей конуса равен 60°, то его образующие вместе с диаметром основания составляют равносторонний треугольник. И раз так, по теореме Пифигора, квадрат радиуса основания конуса равен разности квадратов его диаметра (этому значению равна длинна его образующей) и высоты:

Площадь основания конуса будет π*r². Следовательно, объем конуса будет:

Так как диаметр шара равен высоте конуса, объем шара можно представить как:
.
Найдем теперь отношение объемов конуса и шара:

Следовательно, объем данного конуса составляет 2/3 объема данного шара.
2. Радиус описанной вокруг цилиндра сферы вычисляется по формуле:

 Объем цилиндра равен площади его основания, умноженной на высоту. Отсюда высота цилиндра Н=96/48=2 см. Площадь основания равна π*r², отсюда:
.
Площадь сферы равна 4π*R². Подставляем в эту формулу уже найденные значения:

Площадь сферы будет равняться (192+4π) см².

1) Формула объёма конуса V=S•H:3=πr²H:3

Формула объёма шара

V=4πR³:3

Осевое сечение данного конуса - равносторонний треугольник, т.к. его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°. 

Выразим радиус r конуса через радиус R шара.

r=2R:tg60°=2R/√3

V(кон)=π(2R/√3)²•2R²3=π8R³/9

V(шара)=4πR³/3

V(кон):V(шар)=[π8R³/9]:[4πR³/3]=(π•8R³•3/9)•4πR³=2/3

———————

2) Формула объёма цилиндра 

V=πr²•H

Формула площади осевого сечения цилиндра

S=2r•H

Разделим одну формулу на другую:

(πr²•H):(2r•H)=πr/2⇒

96π:48=πr/2⇒

4π=πr

r=4

Из площади осевого сечения цилиндра:

Н=S:2r=48:8=6

На схематическом рисунке сферы с вписанным цилиндром 

АВ- высота цилиндра, ВС - его диаметр, 

АС - диаметр сферы. 

АС=√(6²+8²)=√100=10

R=10:2=5 

S(сф)=4πR8=4π•25=100π см²