Внутри квадрата abcd отмечены точки к и м (точка м находит- ся внутри треугольника abd, точка к - внутри вмс") так, что треугольники вам и dkm равны (am = km, bm = md, ab = kd), найдите угол kcm, если угол amb = 100

35°

Объяснение:

По условию BM = DM, а все точки, равноудаленные от концов отрезка BD лежат на серединном перпендикуляре к BD, т.е. на диагонали АС, значит М лежит на АС.

Тогда ∠ВАМ = 45°, а из ΔВАМ

∠АВМ = 180° - (∠АМВ + ∠ВАМ) = 180° - (100° + 45°) = 35°

Из равенства треугольников ВАМ и DKM следует, что

∠KDM = ∠ABM = 35°

По условию АВ = KD, значит

KD = AD = DC.

Тогда ΔADM = ΔKDM по трем сторонам (AD = KD (см. выше), DM - общая, АМ = КМ по условию), значит

∠ADM = ∠KDM = 35°

___

∠KDC = ∠ADC - (∠ADM + ∠KDM) = 90° - (35° + 35°) = 20°

ΔKDC равнобедренный, а значит углы при основании равны:

∠DKC = ∠DCK = (180° - 20°) / 2 = 80°

∠КСМ = ∠DCK - ∠DCA = 80° - 45° = 35°

Координаты центра окружности S(x;y)
Точка касания оси Ох М(x;0)
расстояния от точек до центра
AS
(x-5)² + (y-2)² = R²
x² - 10x + y² - 4y + 29 = R²
BS
(x-7)² + (y-4)² = R²
x² - 14x + y² - 8y + 65 = R²
MS
y² = R²
---
три уравнения, три неизвестных
x² - 10x + y² - 4y + 29 = R²
x² - 14x + y² - 8y + 65 = R²
y² = R²
---
x² - 10x - 4y + 29 = 0
x² - 14x - 8y + 65 = 0
---
2x² - 20x - 8y + 58 = 0
x² - 14x - 8y + 65 = 0
---
x² - 6x - 7 = 0
x₁ = (6 - √(36 + 28))/2 = (6-8)/2 = -1
x² - 10x - 4y + 29 = 0
4y = x² - 10x + 29
y = (x² - 10x + 29)/4
y₁ = (1 + 10 + 29)/4 = 40/4 = 10
x₂ = (6 + √(36 + 28))/2 = (6+8)/2 = 7
y = (x² - 10x + 29)/4
y₂ = (49 - 70 + 29)/4 = 8/4 = 2
Координаты центров и радиусы
(-1;10), R = 10
(7;2), R = 2
И сами уравнения
(x+1)² + (y-10)² = 10²
(x-7)² + (y-2)² = 2²

На основании свойства касательных из одной точки к окружности обозначим катеты 3+r и 4+r.
По Пифагору (3+r)² + (4+r)² = 7².
9+6r+r²+16+8r+r² = 49.
2r² + 14r - 24 = 0 сократим на 2:
r² + 7r - 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно r: 
Ищем дискриминант:
D=7^2-4*1*(-12)=49-4*(-12)=49-(-4*12)=49-(-48)=49+48=97;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
r_1=(√97-7)/(2*1)=√97/2-7/2=√97/2-3,5 ≈ 1,42443;
r_2=(-√97-7)/(2*1)=-√97/2-7/2=-√97/2-3,5 ≈ -8,42443 отрицательное значение не принимаем.
Катеты равны 3+1,42443 = 4,42443 и 4+1,42443 = 5,42443.
Теперь находим искомую площадь треугольника:
S = (1/2)*4,42443*5,42443 = 12 см².