Окружность. вписанные углы 1. две хорды окружности ав и сд пересекаются в точке к. акс=40° , ас=60° . найдите градусную меру дуги вд. 2. из точки а окружности с центром о проведены две равные хорды ав и ас, которые составили угол, равный 68° . найдите аос. 3.через точку м некоторой окружности проведены диаметр ам, секущая вм и касательная см, причем точки а, в и с расположены на одной прямой. угол между хордой и диаметром составляет 30° . найдите расстояние между точками а и с, если радиус окружности равен 5см. 4. через точку м некоторой окружности проведены касательная мс и хорда мк. найдите смк, если мк=62° . 5.в окружности проведен диаметр ав, равный 6см. касательная, параллельная этому диаметру, касается окружности в точке м. найдите длину отрезка ам. 6.диаметр ав окружности продлен за точку в, хорда сд этой же окружности продлена за точку д. полученные лучи пересекаются в точке м? амс=50° , вд=30° . найдите ас. 7. хорды ав и сд одной окружности параллельны, ад=100° . найдите градусную меру дуги вс. 8. хорды ав и сд одной окружности равны, ав=70° . найдите сад. 9.четырехугольник авсд вписан в окружность. вад=100° , ав=110° , сд=120° . найдите авс. 10. в окружность с центром в точке о вписана трапеция авсд (вс||ад), вос=80° , аод=160° . найдите вад.

Углы ADB,ACD,BAD вписанные в окружность, они равны половине дуги, на которую опираются.все три дуги, на которые опираются углы,вместе составляют полную окружность.значит, угол ВАД = (360-(60*2+40*2))/2=80

Теорема 1 (теорема Фалеса). Параллельные прямые высекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки (рис. 1).

Определение 1. Два треугольника (рис. 2) называются подобными, если соответствующие стороны у них пропорциональны.

Теорема 2 (первый признак подобия). Если угол первого треугольника равен углу второго треугольника, а прилежащие к этим углам стороны треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны (см. рис. 2).

Теорема 3 (второй признак подобия). Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3).

Теорема 4 (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны AC — в точке Z (рис. 4), то

Теорема 5. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1 (рис. 5). Тогда треугольники A1BC1 и ABC подобны, причем коэффициент подобия равен cos ∠B.

Лемма 1. Если стороны AC и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 6), то

Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону AC (рис. 7), то

Лемма 3. Если треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A, то

Лемма 4. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

9.рассмотрим треугольники ROP и OPS: углы ROP=SOP(по рисунку), OP-общая сторона, углы RPO=OPS(по рисунку) следует треугольник равны по 2 признаку

10. рассмотрим треугольник  oad и ocd: угл О-общий, oc=od по рисунку, углы oda=ocb по рисунку, следует треугольники равны по 1 признаку

11. рассмотрим треугольники MPK и KPN: KP-(ОБЩАЯ СТОРОНА), KM=KN(ПО РИСУНКУ), УГЛЫ MKP=PKM (по рисунку), следует треугольник равен по 1 признаку

12. рассмотрим треугольники abc и cad, ad=bc по рисунку, cd=ab по рисунку, ac-общая сторона, следует треугольник равны по 3 признаку

13. рассмотрим треугольники adc и cdb, cd- общая сторона, углы acd=dcb по рисунку, углы adc=bdc по рисунку, следует треугольники равны по 2 признаку

14.рассмотрим треугольники rpq и rqs, rg- общая сторона, углы prq=rqs по рисунку, углы pqr=qrs по рисунку, следует треугольник равны по 2 признаку.

15. рассмотрим треугольники abd и dbc, db-общая, углы adb=dbc по рисунку, углы cdb=abd, следует треугольники равны по 2 признаку.

16. рассмотрим треугольники ktm и tps, kt=tp по рисунку, mt=ts по рисунку, углы ktm=stp ( т.к вертикальные углы) следует треугольники равны по 1 признаку