100 б важная работа вариант 1 номера 2 3 4 (тут несколько вариантов решения, мне нужны все которые , с максимально подробным решением )

1) В правильной треугольной пирамиде проекции боковых рёбер на основание имеют угол между собой в 360°/3 = 120°.

Тангенс угла β наклона бокового ребра к основанию равен:

tg β = tg α*cos φ = tg 47*cos(120/2) = 1,07236871 * 0,5 = 0,536184355.

β = arc tg(0,536184355) = 0,492174352 радиан = 28,19951313°.

2) Проведём осевое сечение пирамиды через апофему.

В сечении - равносторонний треугольник.

Высота из середины основания этого треугольника на боковую сторону равна 2 см ( по заданию - это расстояние от центра основания до боковой грани).

Высота Н пирамиды как гипотенуза в 2 раза больше катета, лежащего против угла в 30°: Н = 2*2 = 4 см.

Апофема А равна стороне а основания: A = а.

По Пифагору А² = (а/2)² + Н²,

  а² = (а/2)² + 4².

4а² = а² + 16*4,

3а² = 64,

а = √(64/3) = 8/√3 = 8√3/3 см.

Периметр основания Р = 4а = 4*(8√3/3) = 32√3/3 см.

Искомая площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(32√3/3)*(8√3/3) =128/3 = 42(2/3) см².

Проведем через вершину сечение, перпендикулряное стороне основания. В нем построим треугольник, стороны которого - апофема d (высота боковой грани), высота пирамиды (перпендикуляр из S на основание, другой конец этого отрезка - центр квадрата в основании), и отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой боковой стороны, он равен половине стороны основания а. Нам задана высота  этого треугольника, проведенная к гипотенузе d, она равна 2. (Эта высота перпендикулярна 2 прямым в плоскости бокового ребра - апофеме и стороне основания, то есть - это перпендикуляр ко всей плоскости боковой грани.) 

В этом треугольнике нам задан так же угол в 60 градусов. 

Далее все очевидно

d*cos(60) = a/2; Sбок = 4*d*a/2 = 4*(a/2)^2/cos(60);

a/2 = 2/sin(60); (a/2)^2 = 4/(3/4) = 16/3;

Sбок = 2*4*16/3 = 128/3

 

площадь основания в 2 раза меньше (Sбок*cos(60)), это 64/3. А ВСЯ площадь поверхности будет 64.