1. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Найдите все образовавшиеся углы, если один из углов меньше другого в четыре раза.

Задача имеет решение только если АВСD – четырехугольник, вписанный в окружность. (см. рисунки вложения)

В противном случае величину углов АDC и DCB вычислить  невозможно, они могут принимать различное значения, лишь бы их сумма была  равна разности между суммой углов четырехугольника и суммой углов АВС и BAD, т.е. 204°

----------- 

Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º. 

Тогда ∠ADC=180°-∠ABC=180°-96=84°

∠BCD=180°-∠BAD=180°-60°=120°⇒

∠BCD-∠ADC=120°-84°=36°.

Обозначим катеты а и b, а гипотенуза с, радиус вписанной окружности r.
Используем формулы:
 r = (a+b-c)/2,
r = (ab)/(a+b+c).
Из первой получаем: 1 = (a+b-5)/2, 2+5 = a+b. 
Отсюда a+b = 7,  a+b+c = 7+5 = 12.
Подставим во вторую: 1 = (ab)/12 и получаем ab = 12.
Имеем: a+b = 7, а = 7 - b,
             ab = 12, подставим (7 - b)b = 12. 
Раскрыв скобки, получаем квадратное уравнение:
b² - 7b + 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно b: 
Ищем дискриминант:D=(-7)^2-4*1*12=49-4*12=49-48=1;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
b_1=(√1-(-7))/(2*1)=(1-(-7))/2=(1+7)/2=8/2=4;
b_2=(-√1-(-7))/(2*1)=(-1-(-7))/2=(-1+7)/2=6/2=3.

Полученные значения и есть длины катетов.