Высота правильной треугольной пирамиды равна H, а двух гранный угол пирамиды при ее боковом ребре равен a(альфа) Найдите объем пирамиды.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Высота правильной треугольной пирамиды равна H, а двугранный угол пирамиды при ее боковом ребре равен α. Найди объем пирамиды.        

ответ:  √3 * (3 - ctg²(α/2) ) / 4ctg² (α/2)  * H ³

Объяснение:  

Пусть ABC основание пирамиды , DO ее высота _ DO ⊥ пл. (ABC) . Пирамида правильная, следовательно O центр треугольника ABC. Обозначаем AB=BC=CA = a . V =(1/3)*S(ABC)*DO = (1/3)*(a²√3)/4 *H .

!  Нужно вычислить только  a. Покажем  двугранный угол при ее боковом ребре DC  (вернее линейный угол α). Поведем высоту AE треугольника  ADC:   AE⊥ DC и точка  E соединим с B.

 ΔBCE=ΔACE по первому признаку равенства: CE _общая , BC =AC  и ∠BCD=∠ACD.  ⇒AE=BE, ∠BEC=∠AEC =90° , т.е.  еще и ∠BE⊥ DC.

Получили ∠AEB = α линейный угол двугранного угла при боковой ребре DC. Проведем высоту (медиану CM)    треугольника  ABC и  M соединяем  с вершиной D пирамиды .

--- общеизвестно  O ∈ [CM]  и  CM=a√3 /2  и  OC =(2/3)*CM=a /√3 ---

Т.к. DC⊥ EA и DC ⊥ EB ⇒ DC ⊥ пл.(AEB) ⇒ DC ⊥  EM .

!  площадь треугольника MAC:

S( MAC)= (1/2)MC*DO =(1/2)DC*EM   (1)

Но легко получить  EM=(a/2)ctg(α/2)  исходя из того что в равнобедренном треугольнике AEM  медиана EM одновременно и биссектриса и высота .

(1/2)a√3 /2*H =(1/2)DC*(a/2)ctg(α/2) ⇒ DC =√3 H/ctg(α/2).

Из ΔDOC по теореме Пифагора :   OC²=DС²- DO²  

( a/√3) ² =  (√3*H/ctg(α/2) ² - H²  ⇔ a²/3= (3/ctg²(α/2) -1 )*H ²

a² =3(3 -  ctg²(α/2) ) /ctg²(α/2) * H²

V =  (1/3)*3(3 -  ctg²(α/2) )/ctg² (α/2) √3 /4 *H³

V = √3 * (3 - ctg²(α/2) ) / 4ctg² (α/2)  * H³

Высота правильной треугольной пирамиды равна H, а двух гранный угол пирамиды при ее боковом ребре равен a(альфа) Найдите объем пирамиды.

Возможно есть опечатки за это не судить.

Вступление:

Пусть в прямоугольной трапеции ABCD, AB и CD основания, а ∠D прямой. Тогда AD меньшая боковая сторона (как расстояние между параллельными отрезками AB и CD), то есть AD=19см. По построению DC большое основание, поэтому по условию DC=31см. Острые углы при большом основании, ∠C=45° т.к. ∠D=90°.

H∈DC, BH⊥DC ⇒ BH=AD=19см.

В прямоугольном ΔBHC:

∠C=45°, ∠H=90° ⇒ ∠B=45°⇒ HC=BH=19см.

DH=DC-HC=31-19=12см.

В четырёхугольнике ABHD:

∠D=90°, ∠H=90° и ∠A=90°, ∠B=90° т.к. AB║DH, ведь H∈DC и AB║DC.

Получается ABHD - прямоугольник, поэтому AB=HD, HD=12см ⇒ AB=12см.

AB мень. осн. т.к. CD - большее.

Меньшее основание равно 12см.

Угол АВО = угол ОВС; угол АСО = угол ОСВ потому что ОВ и ОС - биссектрисы. 
Но поскольку ВМ=МО, то треугольник ВОМ равнобедренный, и угол МВО = угол МОВ. И, получается, угол МОВ = угол ОВС, а значит, отрезок ОМ параллелен ВС (накрест лежащие углы равны).
Аналогично раз CN=ON, то угол NOC = угол NCO, и отрезок NO параллелен ВС. 
А раз оба отрезка параллельны ВС, то и между собой они параллельны, а поскольку они проходят через одну точку, значит, лежат на одной прямой. Следовательно, точки M, O и N лежат на одной прямой.