Прямокутний трикутник з гострим кутом α вписано в коло радіуса r. Знайдіть катети трикутника.

Пусть ∠B = α. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, следовательно, BC = 2r.

sin α = AC/BC откуда AC = 2rsinα

cos α = AB/BC откуда AB = 2rcosα

1. Т.к. прямые РМ и BD лежат в одной плоскости (ABD), их надо просто продлить до пересечения.
N = PM∩BD

2. РМ⊂ (ABD), CD∩(ABD) = D, D∉PM ⇒
PM и CD скрещивающиеся по признаку и, значит, не пересекаются.

3. Пусть К - середина ВС. Тогда МК║АС, как средняя линия ΔАВС.
KN∩CD = L, PMKL - искомое сечение. Оно параллельно АС, т.к. МК║АС.

МК║АС, АС⊂ACD, ⇒MK║(ACD)
Секущая плоскость проходит через прямую, параллельную ADC и пересекает ADC по прямой PL, значит линия пересечения параллельна АС.
Т.е. PL║AC.
По теореме Фалеса CL:LD = AP:PD = 3:1

Объяснение:

1) по т.Пифагора: R=√L^2 - h^2 =√100-64=6, D=2R=12

2)по т.Пифагора: h=√L^2 - R^2 =√225-81=12

3)по т.Пифагора: L=√h^2 + R^2 =√144+25=13

4)C=2*pi*R, R=10pi/2pi=5. по т.Пифагора: L=√h^2 + R^2 =√144+25=13

5) по т.Пифагора: R=√L^2 - h^2 =√169-25=12, D=2R=24, Р=2*13+24=50

6)по т.Пифагора: h=√L^2 - R^2 =√169-144=5. S=1/2*D*h=1/2*5*24=60

7)D=S/(1/2*h) = 48/4=12, R=6, по т.Пифагора: L=√h^2 + R^2 =√64+36=10

8)C=2*pi*R, R=16pi/2pi=8, D=16, по т.Пифагора: h=√L^2 - R^2 =√100-64=6. S=1/2*D*h=1/2*16*6=48

9)по т.Пифагора: R=√L^2 - h^2 =√289-225=8, D=2R=16

10)h=L*sin30=8*1/2=4