Катет прямоугольного треугольника равен a и лежит против угла 22° 30'. Найти второй катет.

4) Примем угол А=а, угол В=b

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒

в ∆ АДС ∠АCD=∠CAD=а. 

По условию СD=АD, а СD - медиана, и АD=ВD, ⇒ СD=ВD. 

∆ ВDС равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠ВСD=∠СВD=b

Из найденного следует: угол С=а+b

Сумма углов треугольника 180°

Угол А+угол С+угол В=180° ⇒

а+b+a+b=180°

2a+2b=180°⇒

a+b=90° - угол С=а+b=90°

(Полезно помнить: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой проведена, этот треугольник – прямоугольный). 

======

5) В ∆ АОС отрезок ОF перпендикулярен АС⇒ ОF – высота, а т.к. ∆ АОС равнобедренный (АО=ОС – дано), то ОF - медиана.  ∆ АВF=∆ BCF– они прямоугольные с равными катетами: АF=FC (доказано), и ВF - общий, ⇒ АВ=ВС. 

 В  равнобедренном ∆ АВС отрезок ВF- не только высота, но и медиана и биссектриса. Расстояние от точки до прямой - длина проведенного перпендикулярно к прямой отрезка. 

Треугольники ВКО и ВМО прямоугольные с общей гипотенузой ВО и равным острым углом при В. Эти треугольники  равны по углу и гипотенузе. Следовательно. ОМ=ОК=4. 

≈≈≈≈≈≈≈≈

6) Медиана AF делит ВС на равные отрезки. BF=CF⇒

DF  - медиана ∆ BDC и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы 

DF=ВС:2=5 (ед. длины)

======

8) Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒

угол САВ=90°-34°=56°

Медиана СМ делит ∆ АВС на равнобедренные: ∆ АМС с углами при АС, равными 56°, и ∆ ВМС с углами при ВС, равными 34°. 

Угол АСН=90°-56°=34°

∠НСМ=∠АСМ -∠АСН. 

Угол НСМ=56°-34°=22°

В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. В условии не сказано, что призма прямая, может просто пропущено. Если призма не прямая, то данных для решения задачи недостаточно, а решение будет очень сложным, поэтому будем решать задачу для прямой призмы. Чертим призму, так, как она будет выглядеть, если одна грань призмы обращена к нам, а мы смотрим на призму спереди и чуть справа, то есть видим переднюю и правую грани. Обозначим вершины при нижнем основании. Ближнюю левую вершину - точкой А, и дальше по ходу часовой стрелки (дальнюю левую В, дальнюю правую С, ближнюю правую D. Вершины при верхнем основании обозначим соответствующими буквами с индексом 1. Примем, что задана диагональ призмы АС1. Она равна (а) . Проведем диагональ АВ1 левой боковой грани АА1В1В. Получили прямоугольный треугольник АВ1С1 с прямым углом АВ1С1 и гипотенузой АС1. Угол В1АС1 этого треугольника и есть заданный угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани. По условию он равен 30 градусам. В1С1 - катет, лежащий против угла в 30 градусов, значит он равен половине гипотенузы, т. е. а/2 (это сторона основания, вопрос № 1). Катет АВ1 очевидно равен а*sqrt(3)/2. В1С1 - это сторона основания (квадрата) . Значит все стороны оснований равны а/2. Из прямоугольного треугольника АВ1В с прямым углом В1ВА и гипотенузой АВ1 по Пифагору находим ВВ1=sqrt(AB1^2-AB^2)=sqrt((а*sqrt(3)/2)^2-(a/2)^2)=sqrt(3*a^2/4-a^2/4)=sqrt(2*a^2/4)=a*sqrt(2)/2. Это высота призмы. Проведем диагонали (АС) и (ВD) нижнего основания призмы (квадрата) . Точку их пересечения обозначим К. Очевидно, что если сторона квадрата равна а/2, то его диагональ равна a*sqrt(2)/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АС1С. В нем АС=a*sqrt(2)/2 и СС1=ВВ1=a*sqrt(2)/2. Значит треугольник АС1С - прямоугольный равнобедренный. Углы С1АС и АС1С равны 45 градусам. Угол С1ФС и есть искомый по вопросу № 2 угол между диагональю призмы и плоскостью основания. Площадь одной боковой грани АА1В1В равна АВ*ВВ1=а/2*a*sqrt(2)/2=а^2*sqrt(2)/4, а площадь боковой поверхности (вопрос № 3) равна 4*а^2*sqrt(2)/4=а^2*sqrt(2). Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы. Поскольку она параллельна диагонали АС1, значит ни одна из ее точек (нас интересует точка А) не принадлежит этой плоскости. Отсюда следует, что искомая плоскость проходит через диагональ ВD. Поскольку искомая плоскость параллельна АС1, в ней должны быть прямые, параллельные АС1 и пересекающие ВD. Рассмотрим треугольник АС1С. Точка К лежит на середине АС. Проведем через нее прямую, параллельную АС1. Это будет средняя линия треугольника АС1С, значит она равна а/2 и пересечет ребро СС1 посередине. Обозначим эту точку М. Теперь мы можем построить сечение. Это будет треугольник ВМD. Очевидно, что он равнобедренный (ВМ=DМ) , а КМ является его медианой, и высотой. 
Площадь треугольника ВМD (вопрос № 4) равна ВD*МК/2=(a*sqrt(2)/2)*а/2)/2=а^2*sqrt(2)/8