Основанием прямойтреугольной призмыABCA, B, C, являетсяравнобедренныйтреугольник ABC, вкотором АВ = ВС = 20, AC = 32. Боковое ребропризмы равно 24. Точка Рпринадлежит ребру ВВ., причем BP:PB = 1:3.Найти тангенс угла междуплоскостями A, B, C, и АСР.​

В этой задаче надо знать, что в ортотреугольнике (так называется треугольник A1B1C1) высоты AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC являются биссектрисами. 
Если это известно, то решение занимает пару строчек.
H - точка пересечения высот.
В четырехугольнике AC1HB1 два угла прямые, поэтому ∠CAB = 180° - ∠B1HC1; но ∠B1HC1 = 180° - (∠HC1B1 + ∠HB1C1);
поэтому ∠CAB = ∠HC1B1 + ∠HB1C1 = (∠A1C1B1 + ∠A1B1C1)/2
точно так же ∠CBA = ∠HA1C1 + ∠HC1A1 = (∠B1A1C1 + ∠B1C1A1)/2
∠BCA = ∠HA1B1 + ∠HB1A1 = (∠C1A1B1 + ∠C1B1A1)/2
то есть углы треугольника ABC будут такие
(20° + 90°)/2 = 55°; (20° + 70°)/2 = 45°; (70° + 90°)/2 = 80°;

Теперь я приведу одно из нескольких известных мне доказательств свойства ортотреугольника. Это гораздо интереснее и полезнее, чем эта задачка.
Если построить окружность на стороне AC, как на диаметре, то она пройдет через точки A1 и C1 (из за прямых углов). Это означает, что ∠CC1A1 = ∠CAA1; как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CA1;  
Точно так же, если построить окружность на стороне BC, как на диаметре, то она пройдет через точки B1 и C1, и ∠CC1B1 = ∠CBA1; как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CB1; 
 Но ∠A1AC = ∠B1BC = 90° - ∠ACB; следовательно ∠A1C1C = ∠B1C1C,
ЧТД => СС1 является биссектрисой ∠B1C1A1;
Само собой, и про остальные высоты все доказывается точно так же.

Вопрос «какую часть составляет от» подразумевает, что следует определить, сколько раз один угол помещается в другом, и искомое - одна часть из этого количества.
Чтобы ответить на этот вопрос, можно также  меньший угол разделить на больший.   
1)В прямом угле угол, равный 30°, помещается 
90°:30=3 раза, т.е. в прямом три части по 30 градусов. 
1:3=1/3
или 30/90=1/3
Следовательно, 30° составляет 1/3 прямого угла. 
2)угол 45°  
90°:45°=2
1:2=1/2
или 45/90=1/2
45° составляют 1/2 прямого угла
3)60° градусов
90°:60 =1,5 в прямом угле полторы части по 60 градусов
или
60/90=2/3
60°=1:1,5=2/3 прямого угла
3)15°90°:15°=6
1:6=1/6
или 15/180=1/12
15°=1/6 прямого угла 

—————
Точно так же находят части развёрнутого угла. Расчеты писать не буду, их можно сделать самостоятельно. 30°=1/6 развернутого угла45°=1/4  —«—«—«--60°=1/3  —«—«—«--15°=1/12 —«—«—«--