52. В равнобедренный треугольник ABC вписан квадрат DEFG.Периметр треугольника ABC равен 140 см; сумма периметровтреугольников AED, GFC и EBF равна 180 см. Найдите сторонуквадрата.​

можно идти к ответу разными путями. через подобие треугольников, но эта задача уже решена данным , или через площади треугольников ΔАВМ и ΔАВС по формуле половины произведений сторон на синус угла между ними или по формуле половины произведений оснований на высоту,  которая для треугольников равна, но в обоих случаях, видим,  что угол А у треугольников АВМ и АВС общий, значит,

площади относятся как SΔАВМ/SΔАВС =

((АВ*AМsin∠A)/2):((АВ*AС)sin∠A)/2)=АМ/АС, т.к. АМ:МС=2/1, то АМ/АС=2/3, тогда площадь искомая  равна 18*3/2=27/см²/

ответ 27 см²

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD и боковыми сторонами АВ и CD и средней линией МК.

Периметр трапеции равен

Р = АВ + CD + ВС + AD

или с учетом свойства четырёхугольника, описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника ( в том числе и трапеции), описанного около окружности, равны.

То есть

АВ + CD = ВС + AD

Тогда периметр трапеции равен

Р = 2( ВС + AD)

А средняя линия равна полусумме оснований, или

ВС + AD = 2 МК

Тогда периметр

Р = 2 · 2МК

Р = 4 МК

Что и требовалось доказать.