Знайдіть довжину вектора AB, якщо: 1) A (3;2;1), B (8;7;1) 2)A (10;3;3), B (-2;0;-1)

Відповідь:

1) 5√2;

2) 13

Пояснення:

1) Дано: A (3;2;1), B (8;7;1)

Знайти: |AB|

Рішення

Спочатку знайдемо координати вектора AB

AB(8 - 3; 7 - 2; 1 - 1) = AB(5; 5; 0)

Тепер шукаємо довжину вектора

|AB|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 5^2 + 5^2 + 0 = 25 + 25 = 50

|AB| = √50 = 5√2

Відповідь: |AB| = 5√2

2) Дано: A (10;3;3), B (-2;0;-1)

Знайти: |AB|

Рішення

AB(-2 - 10; 0 - 3; -1 - 3) = AB(-12; -3; -4)

|AB|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = (-12)^2 + (-3)^2 + (-4)^2 = 144+ 9 + 16 + 169

|AB| = √169 = 13

Відповідь: |AB| = 13

Расстояние от концов перпендикуляра к плоскости АВС до катетов 

∆ АВС равно  длине проведенных перпендикулярно к этим катетам отрезков. 

Обозначим перпендикуляр ОК. 

Проведем из О отрезки  ОМ и ОН перпендикулярно катетам АС и ВС соответственно. 

Т.к. угол АСВ=90°, ОМ║ВС, ОН ║АС, и проведенные из середины АВ, они являются средними линиями ∆ АВС.  

Отсюда ОМ=ВС/2=6 см

ОН=АС/2=4,5 см.

КМ перпендикулярна АС по т.о 3-х перпендикулярах.

 КМ=√(КО²+МО²)=√72=6√2 см

КН перпендикулярна ВС по т.о 3-х перпендикулярах. 

КН=√KO²+OH²)=√56,25=7,5 см

Расстояние от О до катетов равно 6 см и 4,5 см, от К до катетов равно 6√2 см  и 7,5 см.

Пусть  точки М, Н, К - середины сторон  ∆ АВС. 

Соединим эти точки отрезками. ∆ МНК подобен ∆ АВС, т.к.  его стороны являются средними линиями ∆ АВС и каждая из них параллельна соответствующей стороне ∆ АВС. 

1. Из Н проведем  циркулем окружность 1 радиусом, равным МК.

2.  Из К проведем окружность 2 радиусом, равным МН. Точку пересечения этих окружностей обозначим В. 

3. Из М таким же проведем окружность 3 радиусом, равным НК. Точки пересечения с предыдущими окружностями обозначим А и С. 

4. Соединим А, В и С. ∆ АВС подобен ∆ МНК, вершины которого даны как середины ∆ АВС. 

Построение треугольника по серединам сторон готово.