Знайти косинуси кутів трикутника АВС і встановити вид цього трикутника якщо А(1;-3;4) В(2;-2;5) С(3;1;3)

1. Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, КТ=14 дм, МР=8 дм. МН - высота, МН=4 дм. Найти КМ.

Решение: проведем высоту РС.

МР=СН=8 дм.

ΔКМН=ΔРСТ по катету и гипотенузе, КН=СТ=(14-8):2=3 дм.

Рассмотрим ΔКМН - прямоугольный, КН=3 дм, МН=4 дм, значит КМ=5 дм (египетский треугольник).

ответ: 5 дм.

2. Дано: КМСТ - прямоугольник, Р=56 см, КТ-МК=4 см. Найти МТ.

Решение: МК+КТ=56:2=28 см.  Пусть КТ=х см, тогда МК=х-4 см.

Составим уравнение: х+х-4=28;  2х=32;  х=16.

КТ=16 см;  МК=16-4=12 см. Тогда по  теореме Пифагора

МТ=√(16²+12²)=√(256+144)=√400=20 см.

(или просто: МТ=20 см, т.к. МК:КТ=12:16=3:4;  МКТ - египетский треугольник)

ответ: 20 см.

Даны : А(2,1,0), М(3,-2,1), N(2,-3,0).

Находим координаты направляющего вектора прямой NM:

NM: (1; 1; 1).

Принимаем координаты направляющего вектора прямой NM как соответствующие координаты нормального вектора n плоскости α :

n = (A; B; C). То есть, A = 1, B = 1, C = 1.

Записываем уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; 1; 0) и имеющей нормальный вектор n(A; B; C), в виде:

A(x -x1) + B(y - y1) + C(z - x1) - это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.

Подставляем данные -

α: 1(x -2) + 1(y - 1) + 1z = x + y + z - 3 = 0.

ответ: уравнение плоскости α: x + y + z - 3 = 0.