Обчисліть довжину діагоналі BD паралелограма ABCD якщо А (1;-3;0) В (-2;4 1) С (-3;1;1)​

1. Введение.

Нам известна диагональ ромба (d) и противолежащий ей угол (α) (см. рис. 0).

2. Ход дальнейшего решения.

Найдём прилежащий к этой диагонали угол (см. рис. 1) он зелённого цвета, и построим ромб с через него.

3. Решение.

(см. рис. 2) Из вершины угла (α) проведём полуокружность радиусом r она пересечёт стороны угла в двух точках(C и A), соединим эти точки, теперь найдём середину этого отрезка.

Как найти середину: (см. рис. 3) на концах отрезка мы проводим полуокружность радиусом зрительно больше, чем половина (можно взять радиусом всего отрезка). Эти полуокружности пересекутся в двух точках соединяем их прямой, эта прямая пересечёт наш отрезок пополам, это верно т.к. полученной фигурой будет ромбом, а у ромба диагонали делятся пополам.

(см. рис. 4) нашли середину такого отрезка (H), теперь соединяем её и вершину угла, это будет биссектриса т.к. ΔBHC и ΔBHA равны по трём сторонам, а значит их соответственные углы равны. ΔBCA - равнобедренный, а BH - медиана, поэтому BH - высота и ∠BHC = 90°, получается, что ∠BCH и есть тот, которые мы искали.

(см. рис. 7) переносим получившийся зелёный угол 4 раза на диагональ (d) как показано.

Как перенести угол: (см. рис. 5) из вершины игла проводим полуокружность радиусом n, соединяем точки пересечения полуокружности со сторонами угла. Получился отрезок длиной m. (см. рис. 6) на прямой берём точку O из этой точки проводим полуокружность радиусом n, полуокружность пересечёт прямую в точке U из этой точки проводим полуокружность радиусом m, она пересечёт другую полуокружность в точке Y. Получившейся треугольник равен по трём сторонам треугольнику из рис. 5, поэтому у них равны углы, угол перенесли.

(см. рис. 8) продлеваем стороны углов до их пересечения, всё лишнее можно стереть. Получившиеся фигура это ромб с заданными диагональю и углом.

1.  Дана диагональ  AC  и  ∠ABC   (рис. 1)

2. Так как соседние углы ромба в сумме дают 180° и диагонали ромба являются биссектрисами углов ромба, построим угол, который будет прилегать к заданной диагонали. Для этого к заданному углу построим смежный с линейки : ∠MBA (рис. 2)  Произвольным радиусом сделаем засечки на сторонах полученного ∠MBA : точки N и T.

3. От точек N и T произвольным одинаковым радиусом провести полуокружности, на пересечении поставить точку F ( рис. 3). Луч BF - биссектриса угла ∠MBA.  ∠MBF равен углу, который прилегает к заданной диагонали.  

4. Провести прямую, отложить с циркуля длину отрезка AC - это диагональ будущего ромба (рис. 4). От концов диагонали радиусом NB провести полуокружности. На диагонали точки пересечения D и E.

5. Из точки D радиусом NF в сторону точки А провести полуокружность до пересечения с построенной полуокружностью : на пересечении точки G и H. Из точки E радиусом NF в сторону точки C провести полуокружность до пересечения с построенной полуокружностью : на пересечении точки K и L ( рис. 5).

6. Провести лучи AG, CK, AH, CL (рис. 6).  На пересечении лучей поставить точки  B и D. Полученная фигура  ABCD - ромб с заданными параметрами.