Дан тетраэдр , у которого высота попадает в ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника. Продолжение в фото.

2

Объяснение:

Пусть AA1, BB1, CC1 — высоты △ABC.

Тогда по теореме о трех перпендикулярах получаем, что SB1⊥AC, SC1⊥AB⇒AC⊥SBB1, AB⊥SCC1.

Заметим: CS2+BS2=(12)2+(3)2=(15)2=BC2. Отсюда △SBC — прямоугольный и SB⊥SC.

Тогда получаем, что SB⊥AC, SB⊥SC⇒SB⊥ASC; SC⊥AB, SC⊥SB⇒SC⊥ASB;

Отсюда ∠CSA=∠BSA=90∘, тогда SASCSASB=AS⋅SCsin⁡∠CSAAS⋅SBsin⁡∠BSA=SCSB=2.

  Проекция точки на плоскость  есть точка пересечения с плоскостью прямой, проходящей через  данную точку  перпендикулярно к данной плоскости.  Перпендикулярные прямые, проведенные к одной и той же плоскости, параллельны. ⇒ Отрезки перпендикулярных прямых от вершин параллелограмма  к плоскости взаимно параллельны.   В четырехугольнике АА1С1С стороны АА1|║СС1, в четырехугольнике ВВ1ДД1  стороны ВВ1║ДД1.  В выпуклых четырехугольниках АА1С1С и ВВ1Д1Д две стороны параллельны, они – трапеции по определению.      

   Проведем в параллелограмме и его проекции диагонали. Точки их пересечения обозначим О и О1 соответственно. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ОО1 - средняя линия трапеций АА1С1С и ВВ1Д1Д. Тогда ОО1=(АА1+СС1):2= 10:2=5 м. Поэтому ВВ1+ДД1=2•ОО1=10. ⇒ДД1=10-3=7 м.

Площадь параллелограмма = произведению его смежных сторон на синус угла между ними
S = AB · BC · sin α = 4*5* sin α =20 * sin α =16
sin α = 16/20=0,8
cos² α = 1 -  sin² α = 1 - 0,8² = 1 - 0,64 = 0,36
cos α = +-0,6

Найти большую диагональ, диагональ лежащую против БОЛЬШЕГО угла  ⇒ α>90 ⇒
cos α = - 0,6

В ΔАВС
Квадрат стороны = сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними
АС² = АВ² + ВС² -2 · АВ · ВС ·соs α =5² +4² + 2·5·4·0,6= 65
AC = √65 ≈ 8 - бОльшая диагональ параллелограмма