Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°, то и второй его острый угол тоже будет равен 45° ( два острых угла по 45° и прямой угол 90° в сумме дают, как и должно быть в треугольнике 45° + 45° + 90° = 180° )

Так как два угла при основании треугольника, которым в данном случае является гипотенуза, равны, то равны будут и бёдра этого треугольника, которые в свою очередь являются катетами прямоугольного треугольника.

Если катеты этого треугольника обозначить, как a и b, а гипотенузу, как c, то по теореме Пифагора можно составить равенство:

c² = a² + b²

Т.к. по решению получается, что катеты равны друг другу, то равенство можно записать в виде: c² = 2a² или a² = c²/2

С другой стороны, площадь данного треугольника можно вычислить по формуле:

S = a*b/2 = a²/2

Подставим в полученную формулу значение квадрата катета и получим формулу вычисления площади треугольника через его гипотенузу:

S = a²/2 = c²/4 = 30²/4 = 900/4 = 225

Площадь данного треугольника равна 225.

∠YAC - внешний угол, M - середина AC

∠YAX=∠MAX (AX - биссектриса ∠YAC)

∠YAX=∠MXA (накрест лежащие при XM||AB)

∠MAX=∠MXA => △XMA - равнобедренный, XM=MA

XM=MC, △XMC - равнобедренный => ∠XCA=∠MXC

∠XMA=2∠XCA (внешний угол равен сумме внутренних, не смежных с ним)

∠XMA=∠CAB=54 (накрест лежащие при XM||AB)

∠XCA=∠XMA/2 =54/2 =27

Или  проведем биссектрису MD угла XMA. Биссектрисы внутренних углов при параллельных перпендикулярны, MD⊥AX. Биссектриса MD является высотой, следовательно и медианой. MD - средняя линия в треугольнике CAX, MD||CX. ∠XCA=∠DMA как соответственные. ∠XMA=∠CAB как накрест лежащие при XM||AB. ∠XCA=∠XMA/2=∠CAB/2=27