Вромб вписан круг. каждая сторона ромба точкой касания делится на отрезки, длины которых равны а и b. найдите отношение площади круга к площади ромба. решение и рисунок.

рисунок не могу, а такую я решал тут уже, сейчас

центр окружности находится в точке пересечения диагоналей, которые к тому же взаимно перпендикулярны. если из центра в точку касания провести радиус, то это будет высота в прямоугольном треугольнике, образованном половинками диагоналей и боковой стороной (как гипотенузой). высота делит прямоугольный треугольник на 2 подобных ему же. поэтому

a/r = r/b; r - радиус вписанной в ромб окружности.

r = корень(а*b);

p = 4*(a + b); это периметр ромба.

ну, осталось найти pi*r^2/(1/2*p*r) = 2*pi*r/p (прикольно - так сказать, отношение периметров)

ответ     (1/2)*pi*корень(a*b)/(a + b);

 

 

Окружность является вписанной для большого треугольника и описанной для маленького. радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен r = a/√3. радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен r = b/2√3. окружность является одновременно и вписанной и описанной, тогда a/√3 = b/2√3. a = b/2. a/b = 1/2. т.к. эти треугольник равносторонние, то все углы у них равны. тогда они еще и подобны по i признаку. из подобия следует, что их площадь относятся как квадраты их сторон, т.е. s1/s2 = (a/b)² = 1/4. значит, площадь описанного треугольника в четыре раза больше вписанного.

вписанный угол acb опирается на диаметр ab, следовательно, ∠acb = 90°, тогда по теореме пифагора:

кв. ед.

далее у треугольников abc и kob ∠b общий и углы прямые равны, значит эти треугольники подобны по двум углам. коэффициент подобия:

отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

отсюда кв. ед.

ответ: 1875 кв. ед.