В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2p, а прилежащий угол равен 60°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол 45°. Найдите объем цилиндра.

№1
ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед.

Укажите вектор равный сумме ВЕТКОРОВ:

ВА + АС + А1D1 +СВ + DA + DC

 

т.к.вектор A1D1 = - CB и вектор DA = CB имеем

ВА + АС + А1D1 +СВ + DA + DC = ВА + АС - CB +СВ + CB + DC

тогда

ВА + АС - CB +СВ + CB + DC = ВА + АС + CB + DC

 

сумма векторов ВА + АС + CB = 0 т.е. начальная и конечная точки цепочки векторов совпадают. Остается  DC

ответ  ВА + АС + А1D1 +СВ + DA + DC =  DC

 

 

№2

В треугольной призме ABCA1B1C1 основанием служит правильный треугольникa ABC, сторона которого равна 2 корня из 3-ёх см, О - середина АВ.

Найдите вектора  I А1А - ОА - А1С I

 

А1А - ОА - А1С = А1А + АО + СА1

т.к. СА1 можно представить как СА1 = СА + АА1 то

А1А + АО + СА1 = А1А + АО + СА + АА1 

т.к. А1А + АА1=0 то

А1А + АО + СА + АА1  =  АО + СА  =  СО

СО - это высота правильного треугольника

по теореме Пифагора равна

 

 

ответ 3

а). Найдем длины сторон треугольника:

|КМ| = √(Xm-Xk)² + (Ym-Yk)²)  = √((-3)² + (-4)²)  = √25 = 5 ед.

|МN| = √(Xn-Xm)² + (Yn-Ym)²)  = √(4² + (-3)²)  = √25 = 5 ед.

|КN| = √(Xn-Xk)² + (Yn-Yk)²)  = √(1² + (-7)²)  = √50 = 5√2 ед.

Итак, треугольник KMN равнобедренный с основанием KN.

Найдем угол между сторонами KM и MN:

Cosα = (Xkm*Xmn +Ykm*Ymn)/(|KM*|MN|) = (-3*4 + (-4)*(-3))/25 = 0.

α = arccos0  = 90°

Треугольник KMN прямоугольный.

б). Медиана NL - медиана к боковой стороне. она соединяет вершину треугольника N с серединой стороны КМ.

Найдем координаты середины стороны КМ:

Xl = (Xk+Xm)/2 = (0+(-3)/2 = -1,5.

Yl = (Yk+Ym)/2 = (1+(-3)/2 = - 1.

L(-1,5;-1)

Тогда длина медианы ML:

МL| = √(Xl-Xm)² + (Yl-Ym)²)  = √((-1,5-(-3))² + (-1-(-3))²)  = √(1,5²+2²)  = 2,5.

ответ: длина медианы NL равна 2,5 ед.