Вариант 5 1.​Даны векторы {2; 3; –4} и {3; –4; 2}. Найдите координаты вектора = + . 2.​Даны векторы {4; 3; –1}, {0; 2; –3} и {–3; 0; 6}. Найдите координаты вектора . 3.​Найдите значения т и п, при которых векторы {–6; 9; п} и {2; т; –6} будут коллинеарными.

Дано:
трапеция ABCD  равнобедренная (AD || BC ; AB =CD) 
AE =EB ; BF =FC ; CM=MD ; DN =NA .
-----
док-ать EFMN ⇒ромб

Середины любого четырехугольника (даже не выпуклого) образуют параллелограмм.  В случае  равнобедренной трапеции ( поскольку  диагонали  равны )   этот четырехугольник  будет  ромб .  
---
EF и  NM  средние  линии соответственно  треугольников ABC и ADC.
Следовательно:
EF =AC/2 =NM  
и
EF || AC ,  NM || AC   ⇒  EF  ||  NM .
Четырехугольник  EFMN  параллелограмм. 
ΔEAN = ΔMDN (по первому признаку равенства Δ -ов)
AE =AB/2 =DC/2 =DM  и   AN =DN =AD/2 ; ∠EAN = ∠MDN )
Значит  EN = MN .
Стороны параллелограмма EFMN  равны⇒
EFMN -ромб.   Доказано
-------------------------------------------------------------------------------------------
* * * Можно и так ΔABD = ΔDCA (по первому признаку равенства Δ -ов)
(AD - общее ,  AB =DC , ∠BAD =∠CDA * * *
см фото

Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).

Рис.1

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство следствия проводится методом от противного.

Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

Из теоремы 2 получаем

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.

Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: 
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.