с заданием: Найбільша сторона АС трикутника АВС є діаметром кола і дорівнює 20 см. Величина кута ВАС дорівнює 30 °. Знайдіть довжину сторони ВС.

В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

AK = AM = p – BC.

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,  

CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

x+y=c               b+c-a

y+z=a ⇒x=              2=p-a

x+z=b

Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то основание высоты пирамиды - это центр вписанной в треугольник основания окружности.

Находим боковые стороны "в" и "с" основания:

в = с = √((12/2)² + 10²) = √(36 + 100) = √136 = 2√34.

Площадь основания S = (1/2)*12*10 = 60 см².

Полупериметр р = (2*2√34 + 12)/2 = (2√34 + 6) см.

Радиус вписанной окружности r = S/p = 60/(2√34 + 6 = 30/(√34 + 3).

Так как угол наклона боковых граней равен 45 градусов, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности.

ответ: Н = r = 30/(√34 + 3).