Найбільша сторона АС трикутника АВС , є діаметром кола, і дорівнює 20 см. Величина кута ВАС дорвінює 30 градусів. Знайдіть довжину сторони ВС

1. Т.к. в условии есть речь о гипотенузе и катете, то △MKN — прямоугольный. Обозначим за прямой угол MKN (или же просто K). Он равен 90°.

Обозначим внешний угол к вершине N — «KNO»  и найдем угол MKN, смежный с ним. Для этого применим теорему: «сумма смежных углов равна 180 градусов»  

∠MKN = 180°−120° = 60°

2. Теперь мы можем найти ∠KMN, т.к. нам известны два угла в треугольнике MKN, и то, что общая сумма всех трёх углов равна 180 градусов.

∠KMN = 180°−(90°+60°) = 30°.

(Можно также найти ∠KMN просто отняв от 90-ста градусов 60 градусов, применяя первое свойство прямоугольных треугольников:  «сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°» )

3. Теперь, зная чему равны все углы треугольника и гипотенуза MN, мы можем найти катет KN, применяя 2-е свойство прямоугольных треугольников: «катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы»  

То есть KN = ¹/₂MN.

KN = 36 ÷ 2 = 18.

ответ: KN = 18 см.

Задание 2. а)Угол КАВ, образованный касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине величины дуги АВ, заключённой между его сторонами, центральный угол АОВ тоже опирается на дугу АВ, а угол АСВ- вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, поэтому равен половине величины центрального угла.

б)Т.о., углы АСВ и КАВ равны. А т.к. АК и КВ - отрезки касательных, проведенных из одной точки к одной окружности, то АК=КВ, т.е. ΔКАВ- равнобедренный.

в) т.к. по условию АС║КВ, то по свойству внутренних накрест лежащих при указанных параллельных прямых и секущей АВ ∠АВК=∠ВАС. значит, по двум углам треугольники  КАВ и АСВ подобны, значит, сходственные стороны у них пропорциональны. АВ/ВС=АК/АС=к- коэффициент пропорциональности , Площадь треугольника АВС равна ВС*АС*sin∠ACB; площадь треугольника КАВ равна

АК*АВ*sin∠КАВ.  Синусы равных углов равны. Отношение площадей (АК*АВ*sin∠КАВ)/(BC*АС*sin∠ACB)=АК*АВ/ВС*АС=к²; получается, что от угла не зависит отношение. Это для любого треугольника, а если к тому же треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то все углы в нем по 60°, т.е. он получается равносторонним. т.е. угол и выбирать не надо по этому условию он уже определен. А из того, что угол равен 60°, следует равенство данных треугольников, значит,  отношение их площадей равно единице.