В тетраэдре DАВС АВ = ВС = АС = 10; DA = DB = DC = 20. Через середину ребра ВС плоскость, параллельная АС и ВD. Найдите периметр сечения

Отрезок прямой, проходящей через середины ребер AS и BC, обозначим КМ.
Медиана основания АМ (она же и высота и биссектриса основания) равна АВ*cos 30° = 12√3 * (√3/2) = 18.
Точка К на середине ребра SA проецируется на медиану в точку Е, находящуюся посредине отрезка АО, равного 2/3 АМ.
АО = (2/3)*18 = 12, ЕО = (1/2)*12 = 6.
Отсюда ЕМ = 6+(1/3)*18 = 6 + 6 = 12.
Высота пирамиды SO = √(SA²-AO²) = √(13²-12²) = √(169-144) = √25 = 5.
Отрезок КЕ равен половине высоты пирамиды: КЕ = 5/2 = 2,5.
Угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC, - это угол КМЕ = α.
ctg α = EM / KE = 12 / 2.5 = 4.8.
α = arc ctg 4.8 =  0.205395 радиан = 11.76829 градуса 

Равнобедренный ΔАВС: АС=СВ, АВ=16, высота СН=6 (расстояние между параллельными прямыми).
В равнобедренном треугольнике высота СН - и медиана, и биссектриса.
АН=НВ=АВ/2=8
АС=ВС=√(СН²+АН²)=√100=10
Площадь Sавс=СН*АВ/2=6*8=48
Полупериметр р=(2АС+АВ)/2=36/2=18
Одна окружность с центром О вписана в ΔАВС, радиус ее
ОН=Sавс/р=48/18=8/3.
Вторая окружность с центром О₁ касается 2 параллельных прямых (той прямой, где основание АВ - в точке Е), радиус ее О₁Е=СН/2=3
1 вариант: окружность не пересекает ВС (рисунок 1).
 Т.к. касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, то ,О₁ЕA=90°
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе , значит О₁А - биссектриса <ЕАС, а ОА - биссектриса <ВАС.
<ЕАС и <ВАС - смежные, а биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом, значит <О₁АО=90°.
Рассмотрим прямоугольные ΔО₁ЕА и ΔАНО: у них <EO₁A=<HAO=90-<EAO₁.
Значит эти треугольники подобны по острому углу
О₁Е/АН=ЕА/ОН
ЕА=О₁Е*ОН/АН=3*8/3 / 8=1
ЕН=ЕА+АН=1+8=9
Из прямоугольной трапеции О₁ОНЕ:
ОО₁=√(ЕН²+(О₁Е-ОН)²)=√(81+(3-8/3)²)=√730/9=√730/3
2 вариант: окружность пересекает ВС (рисунок 2).
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе , значит О₁А - биссектриса <ЕАС, а ОА - биссектриса <ВАС. Т.к. <ЕАС и <ВАС совпадают, то  О₁А и ОА  тоже совпадают.
Прямоугольные ΔАЕО₁ и ΔАНО подобны по острому углу ( <А- общий).
АО₁/АО=О₁Е/ОН=3/ / 8/3=9/8
АО=√(АН²+ОН²)=√(64+(8/3)²)=√640/9=8√10/3
АО₁=9АО/8=9*8√10/3 /8=3√10
ОО₁=АО₁-АО=3√10-8√10/3=√10/3
ответ: √730/3 или √10/3