Дано паралелограм АВСД і площину, яка не перетинає його. Через вершини паралелограма проведено паралельні прямі, які перетинають дану площину в точках А1, В1, С1, Д1. Знайдіть довжину відрізка СС1, якщо АА1=3 см, ВВ1=6 см, ДД1=2см.

1. Справедливо третье равенство. Для доказательства записываем сумму углов треугольника ABC:

A+B+C=180°,

а также сумму углов треугольника AOC:

A/2+C/2+∠AOC=180°.

Умножая второе равенство на 2 и вычитая из полученного равенства первое, получаем

2∠AOC-B=180; ∠AOC=90°+B/2

2. Справедливо второе равенство. Для доказательства обращаем внимание на то, что если высоты AA_1 и CC_1, то в четырехугольнике C_1BA_1O углы C_1 и A_1 - прямые⇒B+∠C_1OA_1=180°⇒
∠AOC=∠C_1OA_180°-B.

Замечание. По умолчанию мы считали известным, что треугольник остроугольный.

Площадь поверхности призмы состоит из суммы площадей боковой поверхности и площадей 2-х оснований.  

Пусть основание призмы – равнобокая трапеция АВСД, ВН и CН' -  её высоты. 

АД=АН+НН'+ДH';  HH'=BC=6 см

BH=CH', АВ=СД,  ⇒ ∆ АВН=∆ДСН', 

АН=ДН'=(12-6):2=3см

∆ АВН - египетский, ВН=4см (  проверьте по т. Пифагора )

Тогда S АВСД=0,5•(ВС+АД)•4=36 см²

Площадь боковой поверхности - произведение периметра основания на высоту. Т.к. призма прямая, её высота равна боковому ребру. 

S бок=(2•5+6+12)•4=112 см²

S полн=2•36+112=184 см²

Объем прямой призмы равен произведению высоты на площадь основания.  

V=4•36=144 см³