В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC.Длина высоты — 5, 3 см, длина боковой стороны — 10, 6 см.Определи углы этого треугольника.∡ BAC = ∡ BCA = ∡ ABC = 2. В равнобедренном треугольнике ABC величина угла вершины ∡ B = 80°. Определи угол основания AC с высотой AM, проведённой к боковой стороне. ∡ MAC = 3. В треугольнике OPM проведена высота PN.Известно, что ∡ POM = 12° и ∡ OPM = 122°.Определи углы треугольника NPM. ∡ PNM = ∡ NPM = ∡ PMN =

В равностороннем треугольнике все очень просто. Сначала находим ВЫСОТУ из точки В, она равна 13*корень(3)/2. По идее уже тут можно воспользоваться тем, что высота - одновременно и медиана, то есть найти её (высоту-медиану) из прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 и одним из катетов 13/2. Второй катет (то есть высота-медиана) будет как раз 13*корень(3)/2 (теорема Пифагора :)).

А теперь вспоминаем, что точка О лежит на этой медиане-высоте на расстоянии 2/3 её длины, считая от вершины.

То есть ОВ = (13*корень(3)/2)*(2/3) = 13*корень(3)/3.

ΔABC; медианы AA_1 и BB_1; пересекаются в точке G. Через A_1 проводим прямую, параллельную BB_1, пересекающую AC в точке D.
Угол ACB пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках B_1D:DC=BA_1:A_1C=1:1⇒B_1D=DC⇒AB_1=2B_1D.

Угол CAA_1 пересекается параллельными прямыми⇒по теореме о пропорциональных отрезках 
AG:GA_1=AB_1:B_1D=2:1.

Таким образом, медиана BB_1 в точке пересечения разделила медиану AA_1 в отношении 2 к 1, считая от вершины. Поскольку мы взяли две произвольные медианы, доказано, что каждая из них разделит каждую в отношении 2 к 1. Поэтому во-первых они пересекаются в одной точке, а во-вторых, делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Замечание для продвинутых (21+)))
Знающие теорему Чевы вопрос о том, что медианы пересекаются в одной точке, не задают. А знающие к тому же теорему Менелая, не спрашивают и про отношение 2 к 1. А знающие теорему Ван-Обеля   просто умирают при этом со смеху, потому что для них решение прокручивается устно в голове за 0,5 секунды максимум