Дан прямоугольный треугольник ABC. Гипотенуза равна 8 см и∢CBA=45°. Найди катет BC.

Объяснение:

Пусть угол С=90, тогда найдём угол А=180-90-45=45. Угол А равен углу Б, следовательно треугольник равнобедренный. АС=СВ=х

Тогда по теореме Пифагора:

64=2х^2

х^2=32

х=V32=4V2

ответ: 4V2

Длина высоты будет равна 4,8 единиц
Это решается очень просто.
Прямоугольные треугольники обладают таким свойством, что высота, опущенная на гипотенузу из прямого угла, делит треугольник на 2 ему подобных.
Из подобия одного треугольника к исходному и теоремы Пифагора - вытекает решение.
Синусы и косинусыТолько задачка, скорее всего, из такого класса, что синусы еще не проходили. Поэтому подобие - наиболее приемлемое должно быть. иначе учитель запалит решение.

Можно из подобия треугольников, можно изходить из косинуса/синуса одного из углов, но получается пропорция:
h/a=b/c, где a,b -катеты, с-гипотенуза, h-высота

h=ab/c=6*8/SQRT(6^2+8^2)=48/10=4.8

(Осталось понять, где гипотенуза. Но - даже если бы это НЕ был НЕпрямоугольный треугольник, центр вписанной окружности ну никак не попал бы на сторону - даже, если это - гипотенуза.)

1.Стандартный решения (не самый простой и умный) состоит в вычислении площади и использовании формулы S = pr, где р - ПОЛУпериметр треугольника. 

Площадь найти проще простого, если понять, что высота к основанию делит это треугольник на два "египетских" - со сторонами (6,8,10), то есть высота к основанию равна 8, и площадь S = 8*12/2 = 48; p = (10+10+12)/2 = 16; r = 48/16 = 3;  

2.(необязательно) Более простой решения тоже требует предварительного нахождения высоты к основанию, после чего из подобия треугольника, образованного радиусом r, проведенным в точку касания боковой стороны, частью высоты от вершины до центра (8 - r) и частью боковой стороны, тому же "египетскому" треугольнику (у них общий острый угол). 

r/(8 - r) = 6/10; r = 3;