Площина α перетинає відрізок АС у точці В, причому АВ : ВС = 2 : 1. Через точки А і С проведено паралельні прямі, які перетинають площину α у точках А1 і С1 відповідно. Знайдіть периметр трикутника АВА1, якщо периметр трикутника СВС1 дорівнює 4.

Если продолжить KL и MN то эти линии пересекутся на продолжении ребра B1C1 в точке, которую обозначим O. Рассмотрим положение этой точки в плоскости грани BCC1B1. Легко увидеть, что C1O равна половине длины ребра куба. Аналогичное наблюдение можно сделать и из анализа грани A1B1C1D1. Из симметрии следует что треугольник ONL - равнобедренный с основанием NL. Длина этого основания по теореме Пифагора равна корень(a*a+a*a)/2 = a/корень(2). Длины боковых сторон так-же a/корень(2). То есть треугольник равносторонний, а искомый угол при его вершине 60 градусов.

В основании пирамиды квадрат, она правильная - значит, основание ее высоты находится в точке пересечения диагоналей квадрата, а все грани - равные  равнобедренные треугольники.Ребро МД=√(ОД²+ОМ²)ОМ=8 см, ОД - половина диагонали квадрата и равно 6√2МД=√(72+64)=√136=4√34 - это длина бокового ребра.Площадь боковой поверхности равна произведению апофемы ( высоты боковой грани) на половину периметра основания. S=MH*4*АД:2=МН*2АДМН из треугольника МОН ( египетского!)  равно 10 ( можно проверить по т. Пифагора)Sбок=10*24=240 см ²