Гипотенуза прямоугольного треугольника равна x. проекция вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему как больший ко всей гипотенузе. определить площадьтреугольника

неожиданно полезная .

я специально решаю без привлечения тригонометрических функций. обозначим катеты треугольника y и z, а отрезки гипотенузы u и v. высота делит треугольник на два ему подобных.

тогда

u/v = v/x;

из подобия

z/x = v/z; v = z^2/x;

y/x = u/y; u = y^2/x;

подставляем

y^2/z^2 = z^2/x^2; y/z = z/x; y = z^2/x = (x^2 - y^2)/x;

обозначим t = y/x (это, конечно же синус угла, противоположного катету y, но в данном случае это "высшее" знание: ) не нужно для решения)

t = 1 - t^2; t^2 + t - 1 = 0; t1 = (корень(5) - 1)/2; второй отрицательный. (что то мне подсказывает, что тут есть угол в 36 градусов : )) 

итак,

y = x*(корень(5) - 1)/2;

вспоминаем, что z^2 = y*x, поэтому

z = x*корень((корень(5) - 1)/2);

площадь равна (1/2)*y*z = (1/4)*x^2*(корень(5) - 1)*корень((корень(5) - 1)/2);

ну, что поделаешь.

 

№1. дано: прямые ав, cd, км. ав пересекает км в точке о, cd пересекает км в точке е. угол коа равен 30 градусам, угол оеd равен 120 градусам. докажите, что ав параллельна  cd. доказательство: угол вое равен углу коа как вертикальный, равен 30 градусам. угол вое + угол оеd = 30+120 равно 180, они односторонние, поэтому ав параллельно cd. №2. дано: прямые ав, сd, км. ав пересекает км в точке о, cd пересекает км в точке е.  угол оеd равен 120 градусов, угол ков равен 120 градусов. докажите, что ав параллельна cd. доказательство: угол ков равен угол аое как вертикальный. угол аое равен 120 градусов, угол оеd равен 120 градусов. они накрест лежащие при пересечении двух прямых секущей, они равны, значит, ав параллельна cd. №3. дано: прямые ав, сd, км. ав пересекает км в точке о, cd пересекает км в точке е.  угол ков=120 градусов, угол меd равен 60 градусов. докажите, что ав параллельна cd. доказательство: угол оеd = 180 - dem = 180 - 60 = 120 градусов. углы ков и оеd по 120 градусов и они соответственные, значит, ав параллельна cd.

Вр/б треуг углы при основании равны. пусть угол при основании равен х, а угол при вершине треуг равен у. если угол при основании на 48 меньше угла при вершине, то получим, что х = у - 48   (1) сумма углов в треугольнике равна 180 град, тогда х + х + у = 180   (2) подставим (1) во (2), получим: (у - 48) + (у - 48) + у = 180 3у = 48  +  48  +180 3у = 276 у = 92 градуса - это угол при вершине, тогда угол при основании х = у - 48 х = 92 - 48 х = 44 градуса ответ: углы треугольника 44, 44, 92.