Через вершину d прямокутника abcd до його площини проведено перпендикуляр de. точка e віддалена від сторони ab на 10см, а від сторони bc - на 17см. знайдіть довжину діагоналі bd, якщо de=8см

 

  малюнок самі. відстань від т. е до сторони ав це відстань еа, від т.е до сторони вс – це відстань ес., так як ed – перпендикуляр до площини прямокутника маємо прямокутні трикутники eda і edc, в яких потрібно знайти катети ad і dc відповідно. до кожного з трикутників застосуємо теорему піфагора  ad = √(10ˆ2-8ˆ2)  = 6см , dc = √(17ˆ2-8ˆ2)  = 15 см. тоді діагональ прямокутника можна знайти також по теоремі піфагора db = √6ˆ2+15ˆ2)  = √261

 

1.

1) здесь присутствует смежный угол с углом 1. сумма смежных углов=180гр.

180-80=100гр.- угол, смежный с углом 1.

2)сумма четырехугольника= 360гр.

100+80+40=220гр- сумма 3х углов, значит четвертый угол=

360-220=140гр.

3)угол 4 смежен с углов, равным 140гр.

значит угол 4= 180-140= 40гр.

4) угол 5 смежен с углом 4. угол 5=

180-40= 140гр.

ответ: 40, 140

2.

1) рассмотрим четырехугольник ecda:

сумма углов чсетырех. =360гр. найдем сумму 3х известных углов:

130+30+50=210гр.

∠аес= 360-210=50гр.

2) ∠аев и ∠аес смежные, их сумма равна 180гр.

180-50=130гр.-∠ аев

3) тк ае- биссектриса, то она делит угол пополам. ∠вае=30гр.

4) сумма углов треуг аве = 180гр.

в= 180-(30+130)= 20гр.

ответ: 20, 130

1.в правильной 4угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см.найдите площадь боковой поверхности пирамиды если апофема пирамиды равна 8 см.

 

площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему. sb=10sh=8и без вычисления ясно, что основание боковой грани равно 6*2=12, т.к. половина грани, треугольник аsh, представляет собой "египетский" треугольник с отношением сторон 3: 4: 5. s asb=gh*ab: 2=8*6: 2=24s боковая =24*4=96или s боковая =6*4*8: 2=96 (рисунок не обязателен)2.в правильной 3угольной пирамиде боковое ребро равно 10 см и наклонено к плоскости основы под углом 30гр. найдите высоту пирамиды.

высота пирамиды противолежит углу 30 градусов и потому равна половине бокового ребра=10: 2=5 см 3.в правильной 4угольной пирамиде боковая грань наклонена к основе под углом 60 гр, а ее высота равна 12 см.найдите апофему пирамиды.

сечение пирамиды hgm - правильный треугольник, т.к. углы при его основании равны60 гр.go, высота пирамиды, равна (gh √3 ): 2 по формуле высоты правильного треугольника. можно использовать с таким же результатом и теорему пифагора, обозначив он=х, gh=2x.12= (gh √3 ): 2 24=gh √3gh=24: √3=24√3: √3*√3=8√3- ответ. апофема равна 8√3 см4.найдите площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды, в которой сторона основы равна 6 см, а боковая грань наклонена к основе под углом 60 гр.

площадь полной поверхности правильной 4угольной пирамиды равна сумме площади основания(квадрата) и ее 4-х боковых граней (равнобедренных треугольников). площадь основания равна квадрату его стороны = ав²=36 см²

площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней, или половине произведения периметра основания на апофему. сечение пирамиды по апофемам является правильным треугольником.апофему боковой гранинайдем из треугольника gho.катет но, как половина стороны основания, равен 3 см, и как противолежащий углу 30 гр при вершине, равен половине апофемы .отсюда gh=6 смs боковая= gh*ав*4: 2= 6*6*4: 2=72 см²s полная=72+36=108 см² 5.найдите площадь полной поверхности  правильной 3угольной пирамиды, в которой апофема равна l и образует с высотой пирамиды угол альфа .

 

площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площади основания и площади ее трех боковых гранейплощадь основания равна половине произведения высоты вн на сторону ас или s=(a²√3): 4 или через высоту по формулеs=h²: √3все эти формулы вытекают одна из другй, ход этих преобразований приводить здесь нужды нет. площадь боковой грани вычисляется по классической формуле площади равнобедренного треугольника. нужно найти: сторону правильного треугольника авс через его высоту вн.основание высоты пирамиды делит высоту вн в отношении 2: 1, считая от в ( по свойству медианы треугольника)он: gн равно синусу угла α между апофемой и высотой пирамиды он: l=sinαoh=l·sinαвн=( l·sinα)²=3l·sinα s основания =h²: √3 = 3²(l·sinα)²: √3= умножим числитель и знаменатель на √39·√3( l·sinα)²: √3·√3=9·√3( l·sinα)²: 3 =3√3( l·sinα)²для площади грани нужно знать сторону основания. найдем ее из высоты внвн=(а√3): 22вн=а√3а=2вн: √3=6l*sinα: √3=6√3l·sinα: √3·√3=6√3l·sinα: 3=2l·sinα√3s грани 2l·sinα √3·l: 2=l²sinα·√3s бок=3·l²sinα·√3sполная =l²sinα·√3+3√3( l·sinα)² выведем за скобку общие множители sполная=l²·sinα·(1+ sinα)·√3