Варіант Рівень1 1. Радіуси двох кіл 7см і 4см. Знайти відстань між їх центрами, якщо кола мають зовнішній дотик. а) 11см; б) 12см; в) 3см; г)7см. (0, 5б) 2. Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину його а) серединних перпендикулярів; б) бісектрис; в) медіан; г) висот. (0, 5б) 3. Коло радіусом 8см вписане в трикутник. Чому дорівнює відстань від центра кола до кожної з сторін трикутника?а) 16см; б) 4см; в) 8см; г) неможливо визначити. (1б) 4. Виберіть вірне твердження: (1б) а)Якщо дві хорди перпендикулярні, то одна з них є діаметром; б) Якщо дві хорди точкою перетину діляться навпіл, то вони перпендикулярні; в)Якщо дотична проведена через кінець хорди, перпендикулярна до неї, то ця хорда - діаметр; г) Якщо одна з хорд ділить другу навпіл, то ця хорда-діаметр.. Рівень 2 5.На рис. О- центр кола, ∠ОВК =35°. Знайти кут СОВ. (1б) а) 70°; б) 110°; в) 35°; г) 80°. 6. Коло, вписане у рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 4см і 5см, починаючи від основи. Знайти периметр трикутника. (2б) Рівень 3 7. Побудувати геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін даного кута. (1б) 8. З точки А, що лежить поза колом з центром у точці О, проведено дотичні АВ і АС ( В і С – точки дотику ∠ВАС=60°. Знайти ОА, якщо довжина радіуса дорівнює 15см. (2б) Рівень 4 (за вибором № 9 або № 10) 9. На малюнку хорда МK перетинає діаметр AB в точці F. MPF= KTF=90 0 ,  MFP=30 0 , MK=22см. Знайти сумму длин відрізків MP і KT . (3б) 10. Кут між двома дотичними, проведеними з однієї точки до кола, дорівнює 60°. Доведіть, що відстань від вершини кута до центра кола дорівнює довжині діаметра кола. (2б)

что бы найти площадь равнобедренного треугольника нужна высота. s=ah/2

чертим высоту вн. а высота в равнобедренном треугольнике является медианой и высотой, и делит основание на 2 равные части. значит ан=нс=24: 2=12

нам нужной найти высоту вн

вн можно найти по теореме пифагора, ведь треугольник авн прямоугольный т.к вн является ещё и высотой

вн= корень из ав ²-ан²

вн=корень из 144-169=25 корень из 25 =5

площадь треугольника равна ан/2

а=ан

н=вн

s=5*12/2=30 это площадь треугольника авн а треугольник внс ему равен по 3-м сторонам.

1)ав=вс=13

2)ан=сн=12

3)вн- общая =>

треугольник равны, значит и площади их равны. а площадь треугольника авс=авн+внс

авс=60

ответ : 60 см²

асательная прямая  t  к окружности  c  пересекает  окружность в единственной точке  t. для сравнения,  секущие прямые  пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. это свойство касательной прямой сохраняется при многих   преобразованиях[en], таких как  подобие,  вращение,  параллельный перенос,  инверсия  и  картографическая проекция. говоря техническим языком, эти преобразования не меняют  структуру инцидентности  касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.

радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. и обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. окружность вместе с касательной прямой имеют  осевую симметрию  относительно радиуса (к точке касания).

по  теореме о степени точкипроизведение длин pm•pn для любого луча pmn равно квадрату pt, длине отрезка от точки p до точки касания (отрезок показан красным цветом).

никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. в то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку  p  с центром окружности  o  (см. рисунок справа). в этом случае отрезки от точки  p  до двух точек касания имеют одинаковую длину. по  теореме о степени точки  квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки p относительно окружности  c. эта степень равна произведению расстояний от точки  p  до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через  p.

угол θ между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой между концами хорды.

касательная прямая  t  и точка касания  t  свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о  полюсе и поляре. такая же взаимосвязь существует между точкой  p  вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.

если точка p лежит вне окружности с центром o, и если касательные прямые из p касаются окружности в точках t и s, то углы ∠tps и ∠tos в сумме 180°.

если  хорда  tm проведена из точки касания t прямой p t и ∠ptm ≤ 90°, то ∠ptm = (1/2)∠mot.