Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, образует с одним из катетов угол, равен 55 градусов. Найти острые углы этого треугольника.

Пусть этот треугольник будет АВС.
 угол АВС=147°, угол ВАС=27°.
Высоты АК и МВ продолжаются и пересекаются в точке О. 
Угол КВА - смежный углу 147° и равен 
180°-147°=33°
В прямоугольном треугольнике АКВ угол КАВ=90-33=57
В прямоугольном треугольнике ОАМ угол ОАМ=КАВ+ВАМ
угол ОАМ=27°+57°=84°
В этом же треугольнике угол МОА равен 90°-84°=6°
Тупой угол при точке пересечения высот, как смежный с ним, равен 
180°-6°=174°
-----------------
Пока писала решение, нашла еще одно, покороче.
Угол ВСА равен разности между суммой всех углов треугольника и суммой двух известных:
Угол ВСА=180°-(27°+147°)=6°
В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС=90°-6°=84°
Тогда угол АОМ прямоугольного треугольника АОМ равен 90°-84°=6°,
а тупой угол, смежный с ним, равен
180°-6°=174°

Пусть точка K - середина MB. Пусть сечение пересекает AM в точке P и CM в точке N. Ясно, что PN II AC; 
Плоскости MAC и KPDN пересекаются по прямой PN, а плоскости MBD и KPDN - по прямой DK; при этом плоскости MAC и MBD пересекаются по высоте пирамиды MO (O - центр основания). Ясно, что у всех трех прямых есть общая точка Q, которая в плоскости MBD является точкой пересечения медиан MO и DK. Поэтому MQ = MO*2/3; откуда PN = AC*2/3 = 10√3;
Медиана DK треугольника MBD находится легко, так как известны все три стороны BD = 15*√2; MB = MD = 16; откуда DK = 17; (ну уж найдите :))
Фигура в сечении KPDN называется "дельтоид". Она имеет две взаимно перпендикулярные диагонали PN и KD (поскольку AC перпендикулярно BD и MO). Поэтому площадь этой фигуры равна PN*DK/2 = 17*10√2/2 = 85√2;