No1. К окружности с центром в точке О проведены касательные CD и СВ, а также была выбрана точка К так, как показано на рис. 1. Градусная мера угла АКВ составляет 35 градусов. Определите величину угла С.

а – больший катет

b – меньший катет

с – гипотенуза

1) Найдем градусные меры углов треугольника:

х+2х+90=180

3х=90

х=30° – градусная мера одного острого угла.

2×30°=60° – градусная мера второго острого угла.

90° – градусная мера третьего угла (т.к. треугольник - прямоугольный).

2) Найдём длину меньшего катета треугольника:

tgx=a/b

b=4√3/√3=4см

3) Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

с²=а²+b²=(4√3)²+4²=64

c=8см

4) Найдём радиус круга, описанного около данного треугольника:

R=c/2=8/2=4см

5) Найдём площадь круга:

S=пr²=3,14×4²=50,24см²

ответ: S=50,24см²

Sокр.=16π=50,24 см²

Объяснение: обозначим вершины треугольника А В С с прямым углом С катетами АС и ВС и гипотенузой АВ, центр окружности О, а соотношение 1:2 как х и 2х и так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, составим уравнение:

х+2х=90

3х=90

х=90÷3=30°.

Итак: меньший острый угол А=30°, тогда второй острый угол В=2×30=60°

Большая сторона лежит напротив большего угла и меньшая сторона лежит напротив меньшего угла, поэтому больший катет АС, имеющий величину 4√3, лежит напротив угла 60°, а меньший катет ВС, будет располагаться напротив угла 30°и будет равен половине гипотенузы ( свойство угла 30°). Пусть меньший катет=у, тогда гипотенуза АВ=2у. Зная величину большего катета, составим уравнение используя теорему Пифагора:

АВ²–ВС²=АС ²

(2у)²–у²=(4√3)²

4у²–у²=16×3

3у²=48

у²=48÷3=16

у=√16=4

Итак: меньший катет ВС=4см, тогда гипотенуза АВ=2×4=8см

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности располагается в середине гипотенузы, поэтому радиус окружности ОА=ОВ=8÷2=4см

Площадь окружности вычисляется по формуле: πr²=π×4²=π×16=16π(см²); или 16×3,14=50,24(см²)