По данным рисункам докажите что BO перпенликулярен отрезку АС (r1 =r2)

Пусть данные плоскости а и b.

А ∈ а, В ∈ b.

АН⊥СН, ВС⊥СН

ВН - проекция АВ на плоскость b,

АС - проекция АВ на плоскость а.

∆ АСН - прямоугольный, ∠АНС=90°

По т.Пифагора АН²=АС²-СН²=256-144=112

АН перпендикулярен линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей, следовательно, АН перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости b и проходящей через Н.

∆ АНВ - прямоугольный. ∠АНВ=90°

По т.Пифагора АВ²=АН²+ВН²=512

АВ=√512=16√2

Или:

∆ СНВ - прямоугольный, ∠ВСН=90° ⇒

По т.Пифагора СВ²=ВН²-СН²=400-144=256

ВС=√256=16

∆ АСВ- прямоугольный. ∠АСВ=90°

По т.Пифагора АВ² = АС² +ВС² =256+256=512⇒

АВ=√512=16√2

Исследуйте, может ли диагональ прямоугольного параллелепипеда составлять с плоскостями двух его смежных боковых граней углы 45 градусов и 60 градусов.

Объяснение:

1)Все грани прямоугольного параллелепипеда  - прямоугольники . ΔАВ1D - прямоугольный по т. о трех перпендикулярах : т.к. проекция ВА⊥АD , прямой лежащей  в плоскости, то и наклонная АВ1⊥АD, прямой лежащей в плоскости АD⇒∠В1АD=90° .

ΔВ1СD - прямоугольный  аналогично.

2) Пусть ∠AB1D=45° ,∠CB1D=60° .

В ΔAB1D , ∠ADB1=45°⇒  равнобедренный и AD=FD1=a. Тогда В1D=√(а²+а²)=а√2.

3)ΔB1CD  ,cos 60°=B1C/B1D , B1C=a√2/2.

4) ΔABB1  по т Пифагора h=BB1=√(a²-b²)⇒a>b .

5 )ΔB1CC1 -прямоугольный . по т. Пифагора  ,

  чего быть не может.

Значит  диагональ прямоугольного параллелепипеда составлять с плоскостями двух его смежных боковых граней углы 45 градусов и 60 градусов не может.