решить задачу. Периметр правильного четырехугольника, вписанного в окружность, равен 16 см. Найдите периметр треугольника, вписанного в эту же окружность.

Правильный четырехугольник - квадрат.

a - сторона квадрата

a =Pк/4 =16/4 =4

Диагональ квадрата - диаметр описанной окружности.

2R =a√2 =4√2

b - сторона равностороннего треугольника

По теореме синусов

b/sin60 =2R => b =4√2 *√3/2 =2√6

Pт =3b =6√6 (см)

Или

Найдем длину хорды L по радиусу R и центральному углу Ф.

AOB=Ф, OA=OB=R

OH - высота, медиана, биссектриса

AB=2AH, AOH=Ф/2, sin(AOH)=AH/OA

L =AB =2R sin(Ф/2)  

Вершины равностороннего треугольника делят окружность на три равные дуги.

Фт =360/3

Вершины квадрата делят окружность на четыре равные дуги.

Фк =360/4  

Lт/Lк =sin(Фт/2) / sin(Фк/2) =sin60/sin45 =√3/√2

Pт/Pк =3Lт/4Lк

Pт =16 *3/4 *√3/√2 =6√6 (см)

Азимут:
В Викисловаре есть статья «азимут»
Азимут (геодезия) — в геодезии угол между направлением на север (в Южном полушарии — на юг) и направлением на какой-либо удалённый предмет.
Азимут (астрономия) — дуга математического горизонта от точки юга до вертикального круга светила или угол между полуденной линией и линией пересечения плоскости математического горизонта с плоскостью вертикального круга светила.
Российский Азимут — соревнования по туристическому ориентированию.
Азимут (сеть гостиниц) — российская гостиничная сеть.
Азимут (журнал) — журнал о спортивном ориентировании.
Азимут (альбом) — совместный альбом Slim и группы «Константа», 2011 год.
Азимут (гостиница, Санкт-Петербург) (до 2005 года — «Советская») — гостиница в Санкт-Петербурге, построена в 1967 году.
Азимут (гостиница, Астрахань) — гостиница в Астрахани (бывшая гостиница «Лотос»).

Объяснение:

CD = a,  AB = 2a.

ΔAOB ~ ΔCOD по двум углам (∠ОАВ = ∠ОСD как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АС, углы при вершине О равны, как вертикальные)

Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно отношению сходственных сторон, т.е.

h₁ / h₂ = 1/2   ⇒   h₂ = 2h₁

______________________________________

MN║AB║CD, тогда по обобщенной теореме Фалеса

Проведем СК║AD. СК∩MN = E.

ADCK - параллелограмм, значит АК = CD = a.

KB = AB - AK = a

MDCE параллелограмм (MD║CE и ME║CD ), значит ME = CD = a.

ΔCEN ~ ΔCKB по двум углам (∠CEN = ∠CKB как соответственные при пересечении EN║KB секущей СК, угол С общий)

______________________

Площадь верхней трапеции:

Площадь нижней трапеции: