В остроугольном треугольнике ABC отмечены три точки: H — точка пересечения высот; O — центр вписанной окружности; Q — центр описанной окружности. Найди разность углов AOB и AQB, если угол AHB равен 156 градусов.

Идея построения: 105 = 90 + 15.
90 градусов - это прямой угол, а 15 градусов - это половина от 30, и четверть от 60. Прямой угол построить просто: нужно лишь провести перпендикуляр к нужной точке прямой. Угол в 15 градусов построим следующим образом: сначала построим угол в 60 градусов (это просто, достаточно построить равносторонний треугольник, у которого все углы в 60 градусов. Затем угол в 60 градусов разделить пополам (провести биссектрису), получив угол в 30 градусов. А затем уже угол в 30 градусов еще раз разделить пополам (проведя биссектрису), получим угол в 15 градусов. 
Как строить перпендикуляр, равносторонний треугольник, и как строить биссектрису угла - можешь посмотреть в интернете, это стандартные приемы построения с циркуля и линейки, есть в любом учебнике по геометрии (планиметрии), этому учат в школе.

1) AB = 15

2) AB = 20

Объяснение:

Первый случай, кода AB не пересекает плоскость.

Тогда получаем прямоугольную nрапецию ABB'A'. О - точка пересечения высоты, опущенной из точки A на сторону BB'.

Получаем прямоугольный треугольник ABO

OB=BB'-AA' = 12.5-3.5 = 9

AO = A'B' = 12

По теореме Пифагора получаем

Второй случай, когда AB пересекает плоскость.

Тогда получаем фигуру из двух подобных треугольников (подобие по двум углам, один прямой, второй накрест лежащий, но этот факт нам не понадобится).

Достроим прямоугольный треугольник с прямым углом С продлив сторону AA' восстановив перпендикуляр к этой стороне из точки B.

Получаем прямоугольный треугольник ABC, при этом

AC = AA' + BB' = 12.5+3.5=16

BC = A'B = 12

По теореме Пифагора получаем