Дан ромб, короткая диагональ которого равна стороне длиной 12 см. Определи скалярное произведение данных векторов: 1. AB−→−⋅AD−→−= ; 2. OA−→−⋅OB−→−= ; 3. CB−→−⋅DC−→−= .

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Во-первых, давайте обозначим вершины ромба следующим образом: A, B, C и D. Среди них, длинная диагональ ромба будет представлена вектором AC→−, а короткая диагональ - вектором BD−→−.

Теперь давайте рассмотрим скалярное произведение векторов:

1. AB−→−⋅AD−→−

Для вычисления скалярного произведения векторов, мы должны умножить их соответствующие компоненты и сложить результаты. В данном случае, вектор AB−→− и вектор AD−→− имеют общее начало в точке A. Давайте найдем эти векторы:

Вектор AB−→− представлен разностью координат вершин A и B, то есть AB−→− = B - A. Так как ромб является фигурой симметричной относительно его диагоналей, то вектор AB−→− имеет такую же длину и направление, как и вектор AD−→−, поэтому можно предположить, что вектор AB−→− = AD−→−.

Таким образом, AB−→−⋅AD−→− = AB−→−⋅AB−→−.

Поскольку длина стороны ромба (и, следовательно, длина вектора AB−→−) равна 12 см, мы можем записать:

AB−→−⋅AD−→− = (12 см) * (12 см) = 144 см².

Ответ: AB−→−⋅AD−→− = 144 см².

2. OA−→−⋅OB−→−

Давайте рассмотрим этот случай. Вектор OA−→− указывает на начало координат (оригинал), а вектор OB−→− указывает на вершину B ромба. Так как эти два вектора имеют общий конец, мы можем предположить, что они параллельны и имеют одинаковую направленность. То есть вектор OA−→− = OB−→−.

Скалярное произведение векторов с одинаковыми направлениями равно произведению их длин:

OA−→−⋅OB−→− = (12 см) * (12 см) = 144 см².

Ответ: OA−→−⋅OB−→− = 144 см².

3. CB−→−⋅DC−→−

Вектор CB−→− указывает на вершину B ромба, а вектор DC−→− указывает на вершину C ромба. Так как эти два вектора не имеют общих концов (они измеряют разные направления), мы должны применить другую формулу для вычисления скалярного произведения:

CB−→−⋅DC−→− = |CB−→−| * |DC−→−| * cos(α),

где |CB−→−| и |DC−→−| - длины векторов CB−→− и DC−→− соответственно, а α - угол между этими векторами.

Так как CB−→− является диагональю ромба, она будет равной длине короткой диагонали, то есть 12 см.

DC−→− также будет равна длине короткой диагонали, 12 см.

Теперь мы должны найти угол α между векторами CB−→− и DC−→−.

Угол между двумя диагоналями ромба равен 90°, потому что ромб является прямоугольником. Но в таком случае, cos(α) = 0.

Таким образом, CB−→−⋅DC−→− = 0.

Ответ: CB−→−⋅DC−→− = 0.