Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что ∠CAO = ∠DBO, CO = 8, DO = 12, AO = 10. Найдите BO.

Соединим середины ребер, лежащих в одной грани; получим, что каждый из отрезков будет средней линией соответствующего треугольника.

поэтому

поэтому

Значит, 4-угольник MNPQ - параллелограмм по определению, его диагонали QN и МР пересекаются в т. О и делятся в ней пополам. Отрезки QN и MP соединяют середины противоположных ребер тетраэдра.

Повторяя проведенные выше рассуждения, заключаем, что RS и QN тоже пересекаются в точке О и делятся ей пополам.

Таким образом, все три отрезка: RS, QN, MP - пересекаются в т. О и делятся в ней пополам.

Пусть задан отрезок АВ и угол с вершиной М. 

С циркуля и линейки нужно разделить  отрезок  АВ пополам: из  А и В как из центра провести полуокружности радиусом больше половины отрезка. Точки их пересечения по обе стороны отрезка соединить прямой. Эта прямая делит отрезок на два равных АО=ВО. 

Из вершины М данного угла, как из центра, циркулем проводим окружность радиусом, равным ОВ - половине заданного отрезка. 

Она  пересечет стороны угла  в точках С и К на равном расстоянии от вершины М. Это расстояние равно половине отрезка АВ. 

МС=МК=ОВ. Построение закончено.