У трапеції ABCD через точку O перетину діагоналей проведено відрізок MN паралельно основам AD і BC. 1. Доведи, що відрізок в точці O ділиться навпіл (напиши вирази відрізків MO і ON через основи AD=x і BC=y 2. Визнач довжину відрізка, якщо AD= 9 см і BC= 2 см.

Из треугольника КВМ имеем то, что он прямоугольный с углом ВМК = 30. Отсюда КВ = половине гипотенузы, те = 2. По теореме Фалеса КМ делит сторону АВ пополам, т.е. АВ = 4. Из прямоугольного треугольника АВД АВ гипотенуза равна удвоенному АВ, как катету против угла в 30 градусов. АД=8.  По теореме Пифагора ВД = √64 - 16 = √48 = 4√3 см.
Площадь параллелограмма равна 4*4√3 = 16√3 см².
Площадь треугольника АВД равна половине площади параллелограмма, а площадь треугольника АМД равна половине площади треугольника АВД., т.к. у них одно основание АД, а высоты относятся как 1:2. Значит, площадь треугольника АМД = 16√3/4 = 4√3 см²

S=AB*BD
Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и KBM. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого. Угол ABD - общий прямой, а углы BAD и BKM равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AD и КМ секущей АВ (<BKM=<A=60°).
Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол ВМК:
<BMK=90-<BKM=90-60=30°.
Катет ВК прямоугольного треугольника KBM, лежащий против угла ВМК в 30°, равен половине гипотенузы МК, значит
ВК=4:2=2 см
По теореме Пифагора найдем ВМ:
BM=√MK²-BK²=√16-4=√12=2√3 см
У подобных треугольников ABD и KBM коэффициент подобия k равен:
k=BM : BD=1 : 2 (по условию М - середина отрезка BD). Значит,
BK : AB = 1 : 2, отсюда АВ = 2*ВК=2*2=4 см
BM : BD=1 : 2, отсюда BD = 2*BM=4√3 см
S=4*4√3=16√3 см²